在统计学中,巴苏定理(Basu's Theorem)指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。[1]
定理陈述
设
是可测空间
上的一族分布。如果
是
的充分且有界完全的统计量,
是关于
的辅助统计量,那么
独立于
。
证明
对任意博雷尔集
,构造函数
。注意到记号
是合理的,因为这一函数不取决于
。第一项不取决于
是因为
的充分性,第二项不取决于
是因为
是关于
的辅助统计量。注意到
有界并且期望为0。因此,
的有界完全性保证了
几乎处处为0。由于
可以是任意博雷尔集,定理得证。
例子
正态分布(方差已知)的样本期望独立于样本方差
让 X1, X2,..., Xn 是独立同分布的正态分布随机变量,其中方差
已知,均值
未知。
关于参数
,可以证明样本均值
![{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fee72216eb5359937785ef153e74129d4ecac5b)
是充分完全统计量,并且样本方差
![{\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525daaa8bfcd6b0b1a282cb13d730ce04a3a70de)
是辅助统计量,即其分布并不依赖于
。
因此,巴苏定理指出二者独立。
尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的,这一结论并不只在该情况下成立。实际上,无论方差或均值已知与否,正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步,正态分布是唯一具有这一性质的分布[2]。
参考文献
- ^ Basu, D. On Statistics Independent of a Complete Sufficient Statistic. Sankhyā. 1955, 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259. MR 0074745. Zbl 0068.13401.
- ^ Geary, R.C. The Distribution of the "Student's" Ratio for the Non-Normal Samples. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society. 1936, 3 (2): 178–184. JFM 63.1090.03. JSTOR 2983669. doi:10.2307/2983669.