最小相位(minimum-phase)是控制理论及信号处理中有特殊性质的系统,对于线性时不变系统,若本身为因果系统且稳定,且其逆系统也是稳定的因果系统,此系统即为最小相位系统[1][2]。
相反的,非最小相位(non-minimum phase)系统可以用最小相位系统串接全通滤波器,使部分的零点移到右半面。若有零点在右半面,表示其逆系统不稳定。全通滤波器加入了“额外的相位”(有些可能是传送迟延),这也是为何所得系统称为非最小相位的原因。
例如一个离散系统,其有理传递函数若其所有的极点都在单位圆内,此系统为符合因果性的稳定系统。不过此系统的零点可以在单位圆内或是圆外的任意位置。若离散系统的零点也都在单位圆内,则这个系统也是最小相位的系统。以下会说明为何这様的系统会称为最小相位系统。
逆系统
一系统
可逆的条件是可以由其输出找到唯一对应的输入,也就是可以找到系统
使得若将
及
二个系统连接,可以得到单位系统
(可以参反矩阵)。
![{\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} =\mathbb {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d15234e3595215b0634b7b64d8109977e0ef00d)
假设
为系统
的输入,其输出为
![{\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12d695371634e3c32a0c5ed6c86db33be80f60b)
将
作为逆系统的输入,可得:
![{\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd6cba5a9cb73fa3f5bc65b3f0df626c252bd7e)
因此可以用逆系统
,找到输出
对应的唯一输入
。
离散时间的例子
假设系统
是离散时间的线性非时变系统(LTI),可以用冲激响应
(n为整数)表示。而且,假设系统
的 冲激响应为
。二个线性非时变系统的级联为卷积。上述的关系可以以下式表示:
![{\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{inv}(n-k)=\delta (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d013fdc088c36252c28b729abd08ecb16456c89)
其中
为克罗内克函数或是离散时间下的单位矩阵。注意其逆系统
不一定要是唯一的。
最小相位系统
若系统再加上因果性且稳定性的条件时,其逆系统就是唯一的,而且系统
和逆系统
都是最小相位系统。离散系统下因果性及稳定性的条件如下(针对非时变系统,其中的h为系统的冲激响应):
因果性
![{\displaystyle h(n)=0\,\,\forall \,n<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facb1c3a92cfa8705291c804a7e68bca47345961)
及
![{\displaystyle h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ac10b4bd758de501dc3f3070550f7bef285739)
稳定性
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3531e157b8eff7a00df542daa833fcd50cf49b95)
及
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{inv}(n)\right|}=\|h_{inv}\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8abe3bbb9c377d92802a5e06e206f7d29e327c)
在有界输入有界输出稳定性条目会看到对应连续系统的条件。
频域分析
离散时间系统的频域分析
将最小相位应用在离散时间系统中可以看出一些其中的特性,其时域方程式如下。
![{\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\,\!\delta (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838769d8796c15c03817ed820880391fb75cf264)
进行Z转换后可以得到以下的关系。
![{\displaystyle H(z)\,H_{inv}(z)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb3c78ca072de1272b88c7792527171462a2a88)
由于上述关系,可得
![{\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde468ed43a1cf836e747f028073afa7361d75fd)
为了简单起见,只考虑有理传递函数 H (z)。因果性及稳定性表示所有的H (z)极点都需要严格的在单位圆内(参照有界输入有界输出稳定性)。假设
![{\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fd59457dc0e7a91f89a2ca6a87ccbdf1e13bea)
其中A (z)及D (z)是z的多项式。因果性及稳定性会使得D (z)的零点(根)需要严格的在单位圆内(不能在边界上)。而
![{\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943b746c20f98ca470491782a5852b4856d1c63b)
因此
的因果性及稳定性也会使得为A (z)的零点需要严格的在单位圆内,上述二个条件下,最小相位系统的零点及极点都需要在严格的在单位圆内。
连续时间系统的频域分析
连续时间系统的分析和离散系统类似,不过会使用拉普拉斯变换,其时域的方程式如下。
![{\displaystyle (h*h_{inv})(t)=\,\!\delta (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961e97d0dfe7d2afd9fdd7bb9421339f415c1650)
其中
为狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是连续时间下的恒等算子,因为其和任意信号x (t)都会有筛选性质。
![{\displaystyle \delta (t)*x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77539194b072486ce880d64f8da0dcd843c55b4f)
进行拉普拉斯变换可得到以下S平面的关系。
![{\displaystyle H(s)\,H_{inv}(s)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5321cb1ce508312365c2f548225c1b778c159b2d)
也可以得到下式
![{\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {1}{H(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d338a63f4053f5a3b3c2bab042859c01f213fa5a)
为简化起见,此处也只考虑有理传递函数H(s)。因果性及稳定性表示H (s)的所有极点都要严格的在左半S平面(参考有界输入有界输出稳定性)。假设
![{\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b0df7baabc5309a8f97a9e8c708f30d2a751ee)
其中A (s)及D (s)是s的多项式。
的因果性及稳定性表示D (s)的所有零点都在左半S平面内,而
![{\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20940d39e94e1f3b5c01fcc369e0d0af489aa38c)
的因果性及稳定性表示A (s)的所有零点都在左半S平面内,因此最小相位系统的最有极点及零点都需要严格的在左半S平面内。
增益响应及相位响应的关系
不论是连续时间或是离散时间的最小相位系统,都有一个常会用到的性质:增益频率响应的自然对数(增益的对数单位为奈培,和分贝成正比),和频率响应的相角(单位为弧度)有关,两者的关系是希尔伯特转换。在连续时间系统下,令
![{\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e52fac3c351f7df33080b30b82188136030c19c)
是系统H(s)的复数频率响应。在最小相位系统下,系统H(s)的相位响应和增益响应的关系为
![{\displaystyle \arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3a6258ef76bdf4183a2f0d56d62fc6f93315db)
以及
.
若用较精简的方式表示,令
![{\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c666eb447f58757582327dd0a6e7f479ccb4bb8)
其中
和
都是实数下的实函数,则
![{\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2256d57df8aa59902c22f088d4b212aa33baab)
及
.
希尔伯特转换算子定义为
.
在离散时间系统中也有等效的对应关系。
时域下的最小相位
针对所有有相同增益响应的因果稳定系统,最小相位系统的能量最集中在冲激响应的开始处,也就是说最小相位系统最小化了以下的函数(可以视为是冲激响应能量的延迟)。
![{\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\,\,\,\,\,\,\,\forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b6ea758f3c45490e5e7e216465d67026e10d56)
最小相位及最小群延迟
在所有增益响应相同的因果稳定系统中,最小相位系统的群延迟最小。以下证明可以说明为何该系统有最小的群延迟。
假设考虑传递函数
中的一个零点
,先让零点
在单位圆内(
),看对群延迟的影响。
![{\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ where }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752106d615ac22684232bb59778940535ca82a82)
因为零点
在传递函数中贡献了
的因子,因此其对相位的贡献如下:
![{\displaystyle \phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862c845423fd555f2643dd3148a338d6daa202c5)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd69d95a857ffce4f905d0430e1817d6728f3c51)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e148e64da1a4fc2ca53eb5648ac26097762df5ce)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{1-\left|a\right|cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a34808ee30856b90377cb6fe4a059813b279c6)
![{\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339d17661bc6e58d9aaf362663b56b332178189e)
所贡献的相延迟如下。
![{\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4020cf6220c5c34a5ea931a595f48889550ed8d2)
![{\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d00c183f1ee54fd7271dec0672a1800d18bb39b)
若将零点
移到单位圆外的对应点,也就是
,上式的分母和
都不会变化,而分子的
大小增加,因此让
在单位圆内可以让群延迟中
的贡献最小化。可以将上述结果延伸到超过一个零点的情形,因为
的相位是各项次相位相加的结果,因此,对于有
个零点的传递函数,
![{\displaystyle {\mbox{Arg}}\left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}{\mbox{Arg}}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0f7775cf07612b84cc025d48e10b4a27164278)
一个所有零点都在单位圆内的最小相位系统可以让群延迟降到最小,因为每个零点对群延迟的贡献都降到最小。
上述计算的图示。上下二部分是相同增益响应的滤波器(左图为奈奎斯特图,右图为相位响应),但上方零点
的系统,其相位响应的大小最小
非最小相位系统
若系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定,原系统即为非最小相位系统(non-minimum-phase)。非最小相位系统和最小相位系统有相同的增益响应,但非最小相位系统的相位贡献会比最小相位系统要大。
最大相位系统
最大相位系统(maximum-phase)是和最小相位系统有相反特性的系统,最大相位系统也是非最小相位系统(系统本身是因果稳定系统,其逆系统具有因果性,但不稳定),而且
- 离散时间系统下的零点都在单位圆外。
- 连续时间系统下的零点都在复数平面的右半边。
也就是其逆系统所有的极点都不稳定。
此系统称为最大相位系统的原因是在所有有相同增益响应的系统中,最大相位系统有最大的群延迟。在等增益响应的系统的系统中,最大相位系统有最大的能量延迟。
例如以下是二个连续时间LTI系统的传递函数
![{\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b416611128343564a84119f72021c1cb1525df)
这二个系统的增益响应相同,但第二个系统相位移的贡献较大,因此第二个系统是最大相位系统,而第一个系统为最小相位系统。
混合相位系统
离散时间下的混合相位系统(mixed-phase)有些零点在单位圆内,有些零在单位圆外,其群延迟不是最小值,也不是最大值。连续时间下的混合相位系统则是有些零点在右半平面内,有些零点在右半平面。
例如连续时间系统
![{\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3ee8d42005105e2cb81d73a90dc04a8c0eef78)
是因果稳定系统,但有零点在左半平面,也有零点在右半平面,因此是混合相位系统。
线性相位
线性相位(linear-phase)系统的群延迟是定值。非平凡的线性相位系统或是接近线性相位系统都是混合相位系统。
相关条目
参考资料
延伸阅读
- Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
- Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6