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杨辉三角形

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永乐大典》一页:杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形

杨辉三角形,又称帕斯卡三角形贾宪三角形海亚姆三角形巴斯卡三角形,是二项式系数的一种写法,形似三角形,在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名,其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》,故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下:

杨辉三角形第 层(顶层称第 0 层,第 1 行,第 层即第 行,此处 为包含 0 在内的自然数)正好对应于二项式 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 展开形式 的系数。

性质

每个数是它左上方和右上方的数的和
各条线穿过的数之和均为斐波那契数
用杨辉三角形做成的谢尔宾斯基三角形
  1. 杨辉三角形以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
  2. 杨辉三角形每一行的平方和在杨辉三角出现奇数次。
  3. 杨辉三角形第2的幂行所有数都是奇数[注 1],此为卢卡斯定理的特殊情况。
  4. 行的数字个数为 个。
  5. 行的第 个数字为组合数
  6. 行数字和为 ,因为第 行是 的二项展开。
  7. 行的数字按顺序写下所形成的数字为 ,因为该数字是 的二项展开。例如第二行 ,第三行 ,第四行 ,第五行 ,第六行 (第六行之后需进位)。该规律可推广至任何进位制,例如在九进制下:
  8. 除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和(也就是说,第 行第 个数字等于第 行的第 个数字与第 个数字的和)。这是因为有组合恒等式:。可用此性质写出整个杨辉三角形。
  9. 如果 素数,则第 行的数中除了两端的1以外均为 的整数倍数。若 合数则不然。[注 2]
  10. 按照该三角形的斜边以及与之平行的斜线上的数所形成的数列为第 维度单纯形数。即第一列全为1(0维),第二列为自然数形成的数列,第三列为三角形数形成的数列,第四列为四面体数形成的数列,第五列为五胞体数形成的数列,以此类推。
  11. 行(第 层)的所有的数的平方和为第 行(第 层)正中央的数字。可用该式得出 。例如第五行(第四层)所有的数的平方和 是第九行(第八层)正中央的数字。
  12. 将三角形左端对齐之后,沿右斜45度的对角线方向(不改变三角形形状的话则需要按照中国象棋的走法)取得的数之和为斐波那契数
  13. 将第奇数行正中央的数减去其左侧(或右侧)第二个数,得到的差为卡塔兰数
  14. 将杨辉三角形中所有的奇数与所有的偶数以不同颜色涂色的话,可以形成一个类似谢尔宾斯基三角形的图形。

历史

印度手稿中使用的 Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार),源自宾伽罗 的公式。拉古纳特图书馆J&K手稿;公元755年
朱世杰《四元玉鉴》中的“古法七乘方图”

波斯数学家Al-Karaji和天文学家兼诗人欧玛尔·海亚姆(عمر خیام,Omar Khayyám)在10世纪都发现了这个三角形,而且还知道可以借助这个三角形找次根,和它跟二项式的关系。但他们的著作已不存。[2]

11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角,并发明了增乘方造表法,可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表(古代称数字表为“立成”)的构造进行描述。[3]贾宪的三角表图和文字描写,仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》[4]

1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》[5]

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果,并以此解决一些概率论上的问题,影响面广泛,皮埃尔·雷蒙·德蒙莫尔(1708年)和亚伯拉罕·棣莫弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家:

  • Karaji 和 欧玛尔·海亚姆 波斯 10世纪(图文无存)
  • 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 (图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》)
  • 杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功(图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》)
  • 朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
  • 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》(现存图文)
  • 阿皮亚纳斯 德国 1527
  • 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
  • 薛贝尔 法国 1545
  • B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

中国数学家的研究

中国贾宪是贾宪三角的发明人,贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”,朱世杰称之为“古法七乘方图”(1303年),明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”(1450年);明王文素算学宝鉴》称之为“开方本源图”(1524年);明代程大位算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”(1592年)。 清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”(1692年);清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”;焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”;刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”;项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”;李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”,但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。[6]。著名数学家华罗庚,在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》[7],将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”,首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下;此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之[8]。另一方面,专业的中国数学史著作,都用“贾宪三角”这个称呼。[9][10]

一个数在杨辉三角出现的次数

由1开始,正整数在杨辉三角形出现的次数为:,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... (OEIS:A003016)。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (OEIS:A062527

  • 除了1之外,所有正整数都出现有限次。
  • 只有2出现刚好一次。
  • 6,20,70等出现三次。
  • 出现两次和四次的数很多。
  • 还未能找到出现刚好五次或七次的数。
  • 120,210,1540等出现刚好六次。(OEIS:A098565
    • 因为丢番图方程

      有无穷个解[11],所以出现至少六次的数有无穷多个。
    • 其解答,是

    • 其中表示第个斐波那契数()。
  • 3003是第一个出现八次的数。

注释

  1. ^ 亦即组合数恒为奇数,其中为非负整数,中的某一数。
  2. ^ 考虑二项式系数,并限定n不为p或0,则由于分子有素数p,但分母不含p,故分子的p能保留,不被约分而除去,即恒为p的倍数[1]。另见中一新生之梦

参考文献

  1. ^ How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27 [2021-04-26]. (原始内容存档于2022-03-25) (英语). 
  2. ^ Victor J. Katz, editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A Sourcebook. Page 518, Princeton University Press 2007.
  3. ^ 郭书春著 《中国科学技术史·数学卷》第十五章 《唐中叶至元中叶熟悉概论》第357页 (贾宪)创造《开发作法本源》即贾宪三角 科学出版社 2010
  4. ^ 永乐大典》卷一万六千三百四十四
  5. ^ 朱世杰 原著 李兆华校证 《四元玉鉴校证》卷首《古法七乘方图》 第58页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
  6. ^ 李俨 《中算家的巴斯噶三角形研究》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷6,215-230页
  7. ^ 华罗庚著 《从杨辉三角谈起》 《数学通报丛书》科学出版社 1956年10月
  8. ^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》422页 第十八章第二节 《贾宪三角》,科学出版社 2010
  9. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 704页
  10. ^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》 第十八章第二节 《贾宪三角》,科学出版社 2010
  11. ^ Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.

外部链接

参见