等效位能

等效位能是将许多效应综合成单一位能的数学表达式。在古典力学中，等效位能即为离心力位能与位能的和。等效位能常被用来计算行星的轨道及半古典的原子计算，可用来降低问题的维度。

定义

等效位能 $U_{\text{eff}}$ 可定义如下：

$U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )$

L 为角动量。

r 为两物体之距离。

m 为绕行物体之质量。

U(r) 为位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取负号则为：

${\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}$

其中 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 为r方向的单位向量。

特性

等效位能有许多有用的特性：

$U_{\text{eff}}\leq E$

要找到一个圆形轨道的半径，我们只要将等效位能对r取最小值，或是找$r_{0}$使总力为0：

${\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0$

在解出$r_{0}$后，代回$U_{\text{eff}}$以求等效位能之最大值$U_{\text{eff}}^{\text{max}}$。

也可求得微小振荡之频率：

$\omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}}$

其中角分符号代表对r的微分。

例子：重力位能

以质量为m的小天体绕行质量为M的大天体为例，并假设M远大于m。在牛顿力学中，大天体的运动可被忽略，且能量E及角动量L守恒：

$E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},$

$L=mr^{2}{\dot {\phi }}\,$

其中

${\dot {r}}$ 为r对时间的微分，

${\dot {\phi }}$ 为小天体之角速度，

G 为重力常数。

因为整个运动发生在一平面，所以我们只需要两个变数r及$\phi$。将第二个式子代回第一个式子，整理之后可得

$m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),$

${\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),$

其中

$U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}$

即为等效位能。 如同上式所述，原问题的两个变数被化简成单变数的问题。在许多应用中，等效位能可视为一维系统的位能，譬如说用等效位能来决定转折点及稳定平衡区。类似的方法可用来决定广义相对论中史瓦西度规的轨道。

参考资料

• José, JV; Saletan, EJ. Classical Dynamics: A Contemporary Approach 1st. Cambridge University Press. 1998. ISBN 0-521-63636-1. .

• Likos, C.N.; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M.; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. Gaussian effective interaction between flexible dendrimers of fourth generation: a theoretical and experimental study. J. Chem. Phys. 2002, 117 (4): 1869–1877. Bibcode:2002JChPh.117.1869L. doi:10.1063/1.1486209. （原始内容存档于2011-07-19）.  引文格式1维护：显式使用等标签 (link)

• Baeurle, S.A.; Kroener J. Modeling Effective Interactions of Micellar Aggregates of Ionic Surfactants with the Gauss-Core Potential. J. Math. Chem. 2004, 36 (4): 409–421. doi:10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb. 

• Likos, C.N. Effective interactions in soft condensed matter physics. Physics Reports. 2001, 348 (4–5): 267–439 [2015-07-23]. Bibcode:2001PhR...348..267L. doi:10.1016/S0370-1573(00)00141-1. （原始内容存档于2013-02-01）.