赋环空间 (ringed space) 在数学上系指一个拓扑空间配上一个交换环层,其中特别重要的一类是局部赋环空间。此概念在现代的代数几何学占重要角色。
定义
- 一个赋环空间是一组资料
,其中
为一拓扑空间而
是其上的交换环层。
- 若
在每一点的茎都是局部环,则称之局部赋环空间。
全体赋环空间构成一个范畴,
到
的态射是一组
,其中
是连续映射,
是环层的态射(
定义为
)。
局部赋环空间亦成一范畴,其态射除上述要求外,还须满足:对每一点
,
在茎上诱导的自然态射
必须是局部的(若
是局部环,环同态
满足
,则称φ为局部的)。
例子
- 设
为任一拓扑空间,
(
表 U 上的连续函数),则
成一局部赋环空间:
的唯一极大理想由在
消没的函数构成。拓扑空间之间的连续映射诱导出局部赋环空间的态射,反之亦然。
- 上述例子中的
可代以微分流形或复流形,并将
代以
上的光滑函数或全纯函数。
- 交换环谱
。给定环同态
,φ诱导出局部赋环空间的态射
;反之任一态射皆由环同态给出。
为了刻划这些态射,局部的条件在此不可或缺,它可被视为
与
之间的联系;例如,若不要求局部性,则交换环谱的态射不一定由环同态给出——尽管从古典角度看这是必然的。