逆威沙特分布参数 |
自由度 (实数)
尺度矩阵 (正定) |
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值域 |
是正定的 |
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概率密度函数 |
![{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|B\right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae776ca3993f045a447ae481c9b63fda46bc178) |
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期望 |
![{\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebf5637bad79ccfcacd838c40a3e2a7a62af05b) |
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众数 |
[1]:406 |
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逆威沙特分布,也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数,定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中,逆威沙特分布会用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。
如果一个正定矩阵
的逆矩阵
遵从威沙特分布
的话,那么就说矩阵
遵从逆威沙特分布:
![{\displaystyle \mathbf {B} \sim W^{-1}({\mathbf {\Psi } },m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4310354e15dcb39c21a4503f31c5ac959964e850)
概率密度函数
逆威沙特分布的概率密度函数是:
![{\displaystyle {\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}e^{-\mathrm {trace} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f67e48f30867e603d390a26df6c4bd90c6cd63a)
其中
和
都是
的正定矩阵,而Γp(·) 则是多变量伽马分布。函数
![{\displaystyle \mathrm {trace} \;:\quad \mathbf {M} \quad \rightarrow \quad \mathrm {trace} (\mathbf {M} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6044f87c5080fb2f715c0ec19ae4d7d793fc9e)
指的是迹函数。
相关定理
威沙特分布矩阵之逆的概率分布
设矩阵
并且
是
的矩阵,那么
遵从逆威沙特分布:
。它的概率密度函数是:
![{\displaystyle p(\mathbf {B} |\mathbf {\Psi } ,m)={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{m/2}\left|\mathbf {B} \right|^{-(m+p+1)/2}\exp \left({-\mathrm {tr} ({\mathbf {\Psi } }{\mathbf {B} }^{-1})/2}\right)}{2^{mp/2}\Gamma _{p}(m/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56edadd1348a061841b86f0d49efd7100db47f15)
其中
,而
是多变量伽马分布[2]。
威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布
设矩阵
遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵
和
都有相适合的分块矩阵表示方式:
![{\displaystyle {\mathbf {A} }={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{bmatrix}},\;{\mathbf {\Psi } }={\begin{bmatrix}\mathbf {\Psi } _{11}&\mathbf {\Psi } _{12}\\\mathbf {\Psi } _{21}&\mathbf {\Psi } _{22}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfad0b50e2063e19095052409d3df324b8dcb8db)
其中子矩阵
和
是
的矩阵,那么会有:
甲)
和
与
相互独立,其中
是子矩阵
在
中的舒尔补。
乙)
;
丙)
,其中
是矩阵正态分布。
丁)
共轭分布
假设要求先验分布
为逆威沙特分布
的协方差矩阵
。如果观测值
是从互相独立的 p-变量正态分布
的随机变量得到的,那么条件分布
遵从的是逆威沙特分布:
。其中
是样本协方差矩阵的
倍。
因此,逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。
矩相关特性
期望:[2]:85
![{\displaystyle E(\mathbf {B} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{m-p-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260efd365d5c94a8a12aa08531f0dc1005d3fd03)
矩阵
的每一个系数的方差:
![{\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ij})={\frac {(m-p+1)\psi _{ij}^{2}+(m-p-1)\psi _{ii}\psi _{jj}}{(m-p)(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b52c3b21a18850945e4f4890fd9fa1830b0f9f)
对角系数的方差是在上式中令
得到,化简后变成:
![{\displaystyle {\mbox{var}}(b_{ii})={\frac {2\psi _{ii}^{2}}{(m-p-1)^{2}(m-p-3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ac5ba1b96dc03ee806730fc4627fc177ec7e14)
相关分布
当变量数目减到一个的时候,逆威沙特分布会变成特例:逆伽马分布。也就是说,当
、
、
以及
的时候,逆威沙特分布的概率密度函数是:
![{\displaystyle p(x|\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }\,x^{-\alpha -1}\exp(-\beta /x)}{\Gamma _{1}(\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576ae52b3056ed40f3cb73afdc98484d1546ebb5)
这正是逆伽马分布。其中
是通常的伽马函数。
而逆威沙特分布也有推广,其中一个是正态逆威沙特分布。
参见
参考来源