三葉結

三葉結

在紐結理論中，三葉結（trefoil knot）3₁是一種最簡單的非平凡紐結。可以用反手結連接兩個末端而達成。它是唯一一種有3個交叉的紐結。它也可以描述為 (2,3)-環面紐結。由於三葉結的結構極為簡單，它是研究紐結理論很重要的基本案例，在拓撲學、幾何學、物理學、化學領域，有廣泛的用途。

三葉結得名於植物三葉草。

描述

三葉結可以由以下的參數方程確定：

$x=\sin t+2\sin 2t$

$\qquad y=\cos t-2\cos 2t$

$\qquad z=-\sin 3t$

三葉結也可以看作(2,3)-環面紐結。對應的參數方程為：

$x=(2+\cos 3t)\cos 2t$

$\qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t$

$\qquad z=\sin 3t$

與它們同痕的紐結還是三葉結。它們的鏡像也稱為三葉結。

三葉結還可以定義為$\mathbb {C} ^{2}$中三維球面$|z|^{2}+|w|^{2}=1$和曲線$z^{2}+w^{3}=0$的交。

性質

左手三葉結和右手三葉結

三葉結是最簡單的非平凡紐結。它是一個素紐結，也是交錯紐結。

三葉結有兩個版本，它們互成鏡像，彼此不相同痕，分別稱為左手三葉結和右手三葉結。

它的亞歷山大多項式是：

$\Delta (t)=t-1+t^{-1}$

康威多項式是：

$\nabla (z)=z^{2}+1$

瓊斯多項式是：

$V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$

Kauffman多項式是：

$L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}$

HOMFLY多項式是：

$P(a,z)=-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}$

它的紐結群具有下述表示：

$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$

或：

$\langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle$

這和三股辮群是同構的。

使用三葉結設計的圖案

三葉結在1989年至2007年被用作香港亞洲電視的台徽。

國際羊毛局的純羊毛標誌是一束結為三葉結的毛線。

莫里茨·科內利斯·埃舍爾：

參見

• 莫比烏斯帶
• 克萊因瓶