在多元變量統計中,如果
為
維隨機向量,
是一個
維對稱矩陣,則隨機變量
稱為
的二次型。
期望
二次型的期望可表示為,[1]
![{\displaystyle \operatorname {E} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right]=\operatorname {tr} \left[\Lambda \Sigma \right]+\mu ^{T}\Lambda \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baad183f5bdae8ceea0ab20ebb804d7767187c36)
其中,
和
分別表示
的期望值 和方差-協方差矩陣, tr 為矩陣的跡。其結果僅僅取決於是否存在
和
;並且,
的正態性不是必要條件。
關於隨機變量的二次型參考書籍 [2]
證明
由於二次型是純量,所以二次型的跡就是它本身
。
由於矩陣的跡是其對角線元素之和(即矩陣元素線性組合的結果),因此服從期望的線性,有
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\operatorname {E} \left[\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon \right])=\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b1fb11c70bcab0954784f7b5245845850c7f41)
利用跡的可交換性,
![{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon )]=\operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d12897773f98f644462e4aad2cbeee4a24e538)
由期望的線性可得
![{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {tr} (\Lambda \varepsilon \varepsilon ^{T})]=\operatorname {tr} (\Lambda \operatorname {E} (\varepsilon \varepsilon ^{T})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a125f6229a870a6ab67fbc927e076fb256a5d4d2)
由方差的標準屬性可知:
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda (\Sigma +\mu \mu ^{T})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01e8316b4c844ad98bc7f47fe25a1e981f5d26d)
再次應用跡的可交換性可得:
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\Lambda \mu \mu ^{T})=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\operatorname {tr} (\mu ^{T}\Lambda \mu )=\operatorname {tr} (\Lambda \Sigma )+\mu ^{T}\Lambda \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae23ee03a51533d2f3c0c9df57e18554d2701ef)
方差
通常情況下,二次型的方差在很大程度上取決於
的分布。 然而,如果
服從多元常態分布,則二次型的方差的求解非常容易。假設
是一個對稱矩陣,則有,
[3].
事實上,這可以推廣到同一向量
的兩個二次型的協方差計算中 (注意,
和
必須都是對稱矩陣):
。
不對稱矩陣的方差計算
在某些參考資料中,在
為非對稱矩陣情況下,也錯誤地得到了上述方差/協方差的結果。
在一般情況下,
可以通過下面方式得到:
![{\displaystyle \varepsilon ^{T}\Lambda ^{T}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\Lambda \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b5140767628d9d0fb1ac7df0470d04e977ea69)
因此
![{\displaystyle \varepsilon ^{T}{\tilde {\Lambda }}\varepsilon =\varepsilon ^{T}\left(\Lambda +\Lambda ^{T}\right)\varepsilon /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de565ba4da56c0cbdeac0b81bb7c0b078300b28)
但是,這是一個二次型的對稱矩陣
,所以其均值和方差表達式相同,只是將
替換為
。
二次型舉例
設有觀測值的集合
和運算矩陣
,則
的殘差平方和可表示為其二次型:
![{\displaystyle {\textrm {RSS}}=y^{T}(I-H)^{T}(I-H)y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b148b12ae61ee5763b506b708efabb0bc5950c3)
其中,矩陣
為對稱和等冪的,其誤差為協方差矩陣為
的高斯分布,
為自由度是
的卡方分布,參數為
,有
![{\displaystyle k=\operatorname {tr} \left[(I-H)^{T}(I-H)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fc47f619bea6a72ba7b8b4bb0bc32bd436c4b6)
![{\displaystyle \lambda =\mu ^{T}(I-H)^{T}(I-H)\mu /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f44c081e467b5d8e488ec61c3641c6c7f93aed3)
如果
在估計
時沒有偏差,則參數
為零且
服從中心卡方分布。
參考文獻
- ^ Douglas, Bates. Quadratic Forms of Random Variables (PDF). STAT 849 lectures. [August 21, 2011]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04).
- ^ Mathai, A. M. & Provost, Serge B. Quadratic Forms in Random Variables. CRC Press. 1992: 424. ISBN 978-0824786915.
- ^ 1934-, Rencher, Alvin C.,. Linear models in statistics. Schaalje, G. Bruce., Wiley InterScience (Online service) 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. 2008. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778.
參看