交錯群

數學中，交錯群（alternating group）是一個有限集合偶置換之群。集合 $\{1,\cdots ,n\}$上的交錯群稱為 $n$階交錯群，或 $n$ 個字母上的交錯群，記做 $A_{n}$或 $\mathrm {Alt} (n)$。

例如，4 階交錯群是 $A_{4}=\{e,(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ （參見輪換記法）。

基本性質

對 $n>1$，群$A_{n}$是對稱群 $S_{n}$的交換子群，指數為 2，從而有${\frac {n!}{2}}$個元素。它是符號群同態 $\operatorname {sgn} :S_{n}\to \{1,-1\}$的核。

群 $A_{n}$ 是阿貝爾的若且唯若 $n\leq 3$，單若且唯若 $n=3$ 或 $n\geq 5$。注意 $A_{3}$ 事實上是 3 階單純群。$A_{1}$與 $A_{2}$ 是 1 階群，一般不稱為單的，而 $A_{4}$ 有一個非平凡正規子群從而不單。$A_{5}$是最小非阿貝爾單純群，階數為 60，也是最小不可解群。

共軛類

在對稱群中，$A_{n}$ 的共軛類由有相同輪換型的元素組成。但是如果輪換類型只由沒有兩個長度相等的奇數長的輪換組成，這裡長為 1 的輪換包含在輪換型中，則對這樣的輪換型恰有兩個共軛類 （Scott 1987，§11.1, p299）。

例如：

• 兩個置換 (123) 與 (132) 有相同的輪換型從而在 S₃ 中共軛，但在 A₃ 中不共軛。
• 置換 (123)(45678) 與其逆 (132)(48765) 有相同的輪換型所以在 S₈ 中共軛，但在 A₈ 中不共軛。

自同構群

更多資訊：對稱群和交錯群的自同構

$n$	${\mbox{Aut}}(A_{n})$	${\mbox{Out}}(A_{n})$
$n\geq 4,n\neq 6$	$S_{n}\,$	$C_{2}\,$
$n=1,2\,$	$1\,$	$1\,$
$n=3\,$	$C_{2}\,$	$C_{2}\,$
$n=6\,$	$S_{6}\rtimes C_{2}$	$V=C_{2}\times C_{2}$

對 n > 3，除了 n = 6，A_n 的自同構群就是 S_n 的自同構群，其內自同構群為 A_n 外自同構群為 Z₂；外自同構來自用一個奇置換共軛。

對 n = 1 與 2，自同構群平凡。對 n = 3 自同構群是 Z₂，其內自同構群平凡外自同構群為 Z₂。

A₆ 的外自同構群是克萊因四元群 V = Z₂ × Z₂，這也是 S₆ 的自同構群。 A₆ 另外的自同構將三輪換（比如 (123)）與 3² 型元素（比如 (123)(456)）交換。

特殊同構

在小交錯群與小李型群之間有一些同構。他們是

• A₄ 同構於 PSL₂(3) 以及手征性四面體對稱之對稱群。
• A₅ 同構於 PSL₂(4)，PSL₂(5)，以及手征性二十面體對稱之對稱群。
• A₆ 同構於 PSL₂(9) 與 PSp₄(2)'。
• A₈ 同構於 PSL₄(2)。

更顯然有 A₃ 同構於循環群 Z₃，以及 A₁ 與 A₂ 同構於平凡群（也是 SL₁(q)=PSL₁(q) 對任何 q）。

子群

A₄ 是說明拉格朗日定理的逆命題一般不成立的最小群：給定一個有限群 G 和 |G| 的一個因子 d，不一定存在 G 的一個 d 階子群。群 G = A₄，階為 12，沒有 6 階子群。有三個元素的子群（由三個物件的輪換旋轉生成）再加上任何一個其它元素生成整個群。

群同調

交錯群的群同調體現了類似穩定同倫理論中的穩定性：對足夠大的 n 是常值。

H₁：阿貝爾化

第一同調群與阿貝爾化相同，因為 $A_{n}$ 除去已經提到的例外是完全群（完滿群），從而有

$H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,$

$H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,$

$H_{1}(A_{n},\mathbf {Z} )=0$ for $n=1,2$ and $n\geq 5.\,$

H₂：舒爾乘子

當 n 等於 5 或大於等於 8 時，交錯群 A_n 的舒爾乘子是 2 階循環群；在 6 和 7 時有一個三重覆蓋，則舒爾乘子的階數為 6。

$H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=0$ for $n=1,2,3;\,$

$H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /6$ 對 $n=6,7;\,$

$H_{2}(A_{n},\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2$ 對 $n=4,5$ 與 $n\geq 8.$

參考文獻

• Scott, W.R., Group Theory, New York: Dover Publications, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8 
• 徐明曜, 有限群导引·上册（第二版）, 北京: 科學出版社, 2001, ISBN 7-03-007119-0