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傳遞矩陣法

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傳遞矩陣法(英語:Transfer-matrix method)是一種在統計力學計算中使用的數學技巧。其基本思想是,對於只有相鄰粒子間存在相互作用的體系,其配分函數可寫作以下形式:

其中v0vN+1p維向量,代表邊界上的粒子的狀態。Wk為所謂的「傳遞矩陣」,矩陣元素代表相鄰兩粒子各種狀態下相互作用的統計權重,其連乘的展開即為系統各種可能的狀態統計權重之和——配分函數。如果忽略邊界,或視作周期性邊界,配分函數即為

「tr」為矩陣的跡。數學上,矩陣的跡等於所有特徵值之和。若所有傳遞矩陣Wk都相同,傳遞矩陣的連乘即為WN,其各特徵值為W矩陣各特徵值λN次方,又因為在熱力學極限下粒子數目很大,只有最大的特徵值對配分函數有明顯貢獻:

由此,配分函數可通過求解傳遞矩陣的特徵值精確導出。

當一個體系可以分解為一系列只有相鄰元素相作用的子體系時,可考慮應用傳遞矩陣法。例如,三維立方伊辛模型可視作一層層二維伊辛模型的堆砌,只有相鄰的子系統之間有相互作用。子系統可能的狀態數是p,那麼傳遞矩陣Wk的維度為pxp,而矩陣元素的大小與各狀態的統計權重有關。

傳遞矩陣法是一些統計力學模型精確解的關鍵。例如Zimm-Bragg模型英語Zimm-Bragg modelLifson-Roig模型英語Lifson-Roig model解釋溶液中線形高分子的螺旋-線團轉變英語helix-coil transition model,蛋白質-DNA結合模型的傳遞矩陣法解,以及物理學史上著名的拉斯·昂薩格給出的二維易辛模型解析解。

參考資料