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佩龍公式

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數學或更具體地,其分支解析數論中,佩龍公式(英語:Perron's formula)源自德國數學家奧斯卡·佩龍,是利用逆梅林變換來計算算術函數的和。

定理陳述

為一算術函數,並令

為其對應的狄利克雷級數。假設這狄利克雷級數對 一致收斂,那麼佩龍公式為:

此處求和符號上的一撇表示當x是整數時,和式中最後一項要乘以1/2。這個積分不是收斂的勒貝格積分,應當理解為柯西主值。這個公式要求 c > 0, c > σ 和實數x > 0,但除以上條件以外別無限制。

證明

阿貝爾求和公式可以得到一個簡單的證明梗概:

這不過是在變量代換下的拉普拉斯變換,運用拉普拉斯變換的反轉公式就能得到佩龍公式。

例子

由於和狄利克雷級數的關係,佩龍公式常被用於解析數論中的求和。例如我們對黎曼ζ函數有如下的著名積分表示:

對於狄利克雷L函數也有類似的公式:

其中

狄利克雷特徵.

參考文獻