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馮·諾伊曼全集

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集合論和有關的數學分支中,馮·諾伊曼全集馮·諾伊曼集合層次,是由所有集合組成的,可以分成超限階級的個體集合(a transfinite hierarchy of individual sets)。

它可以用超限歸納法定義為如下:

.
  • 最後,設V是所有V-階段的並:
.

等價的說,對於任何序數α,設,這裡的是X的冪集

V和集合論

如果ω是自然數的集合,則Vω繼承有限集合的集合,它是不帶有無窮公理的集合論的模型Vω+ω普通數學全集。它是Zermelo集合論的模型。如果κ是不可及基數英語Inaccessible cardinal,則VκZermelo-Fraenkel集合論自身的模型,而Vκ+1Morse–Kelley集合論的模型。

注意所有個體階段Vα都是集合,但是它們的聯集V真類。在V中的集合叫做繼承良基集合基礎公理要求所有集合是良基的而因此是繼承良基的。(也有的公理系統忽略基礎公理,或把基礎公理替換為其強否定,如Aczel的反基礎公理,不過這類系統很少被用到)。

給定任何集合A,使得A是某個Vα的子集的最小序數α是A(或繼承等級)。

哲學觀點

有兩種不同的方式來理解馮·諾伊曼全集VZFC的聯繫。粗略的說,形式主義者傾向於把V看作是從ZFC公理推出的某種東西(例如,ZFC證明了所有集合都在V中)。在另一方面,實在論者會把馮·諾伊曼全集看作從直覺可直接觸及的某種東西,而把ZFC公理看作在V中為真的命題,透過簡單論證(透過自然語言),可以使人信服它們的真確性。一個可能的中間立場是,馮·諾伊曼層次的形象化概念給ZFC公理提供了一個動機(所以這些公理不是任意提出來的),但這不意味ZFC公理確實有描述真實存在的物件。

參見