切消定理

切消定理（cut-elimination theorem (or Gentzen's Hauptsatz)）是確立相繼式演算重要性的主要結果。它最初由格哈德·根岑在他的劃時代論文《邏輯演繹研究》對分別形式化直覺邏輯和經典邏輯的系統LJ和LK做的證明。切削定理聲稱在相繼式演算中，擁有利用了切規則的證明的任何判斷，也擁有無切證明，就是說，不利用切規則的證明。

相繼式是與多個句子有關的邏輯表達式，形式為" $A,B,C,\ldots \vdash N,O,P$ "，它可以被讀做"A, B, C, $\ldots$ 證明N, O, P"，並且（按Gentzen的注釋）應當被理解為等價於真值函數"如果（A & B & C $\ldots$ ）那麼（N or O or P）"。注意LHS（左手端）是合取（and）而RHS（右手端）是析取（or）。LHS可以有任意多個公式；在LHS為空的時候，RHS是重言式。在LK中，RHS也可以有任意數目的公式--如果沒有，則LHS是個矛盾，而在LJ中，RHS只能沒有或有一個公式：在右緊縮規則前面，允許RHS有多於一個公式，等價於容許排中律。注意，相繼式演算是相當有表達力的框架，已經為直覺邏輯提議了允許RHS有多個公式的相繼式演算，而來自Jean-Yves Girard的邏輯LC得到了RHS最多有一個公式的經典邏輯的更加自然的形式化；邏輯和結構規則的相互作用是它的關鍵。

"切"是在相繼式演算的正規陳述中的一個規則，並等價於在其他證明論中的規則變體，給出

（1）

(A,B,\ldots )\vdash C

和

（2）

C\vdash (D,E,\ldots )

你可以推出

（3）

(A,B,\ldots )\vdash (D,E,\ldots )

就是說，在推論關係中"切掉"公式"C"的出現。

切消定理聲稱（對於一個給定的系統）使用切規則的任何相繼式證明也可以不使用這個規則來證明。如果我們認為 $(D,E,\ldots )$ 是一個定理，則切消簡單的聲稱用來證明這個定理的引理 $C$ 可以被內嵌（inline）。在這個定理的證明提及引理 $C$ 的時候，我們可以把它代換為 $C$ 的證明。因此，切規則是可接納的。

對於用相繼式公式化的系統，分析性證明是不使用切規則的證明。這種證明典型的會很長，當然沒有必要這麼做。在散文《不要消除切呀!》中，George Boolos展示了可以使用切在一頁中完成的推導，而它的分析性證明要耗盡宇宙的壽命來完成。

這個定理有很多豐富的推論。一旦一個系統被證明有切消定理，這個系統通常立即就是一致的。這個系統通常也有子公式性質，這是達成證明論語義的重要性質。切削是證明插值定理的最強力工具。基於歸結原理的完成證明查找的可能性，導致Prolog程式語言的本質洞察，依賴於在適當的系統中接納切規則。

引用

Gentzen, Gerhard. Untersuchungen über das logische Schließen. Mathematische Zeitschrift. 1934–1935, 39: 405–431.

參見