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壓縮映射

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度量空間(M,d)上的壓縮映射(英語:Contraction mapping),或壓縮,是一個從M到它本身的函數f,存在某個實數,使得對於所有M內的xy,都有:

滿足以上條件的最小的k稱為f利普希茨常數。壓縮映射有時稱為利普希茨映射。如果以上的條件對於所有的都滿足,則該映射稱為非膨脹的

更一般地,壓縮映射的想法可以定義於兩個度量空間之間的映射。如果(M,d)(N,d')是兩個度量空間,則我們尋找常數k,使得對於所有M內的xy

每一個壓縮映射都是利普希茨連續的,因此是一致連續的。

一個壓縮映射最多有一個不動點。另外,巴拿赫不動點定理說明,非空的完備度量空間上的每一個壓縮映射都有唯一的不動點,且對於M內的任何x迭代函數序列xf (x),f (f (x)),f (f (f (x))),……收斂於不動點。這個概念在迭代函數系統中是非常有用的,其中通常要利用壓縮映射。巴拿赫不動點定理也用來證明常微分方程的解的存在,以及證明反函數定理[1]

參見

注釋

  1. ^ Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244-260.

參考文獻

  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2