哈沙德數
哈沙德數(Harshad number)是可以在某個固定的進位制中,被各位數字之和(數字和)整除的整數。
哈沙德數又稱尼雲數,是因為伊萬·尼雲在1997年一個有關數論的會議發表的論文。
若一個數無論在任何進位制中都是哈沙德數,稱為全哈沙德數(全尼雲數)。只有四個全哈沙德數:1, 2, 4, 6。(12在除八進制以外的進制中均為哈沙德數)
所有在零和進位制的底數之間的數都是哈沙德數。
除非是個位數,否則質數不是哈沙德數。
在十進制中,100以內的哈沙德數 A005349:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...
連續數個整數均為哈沙德數
Cooper和Kennedy在1993年證明了十進位里沒有21個連續整數均是哈沙德數。[1][2]他們亦找到了最小20個連續整數都是哈沙德數的數列,它們大於1044363342786。
1994年,H.G. Grundman 擴展了Cooper和Kennedy的結果,表明n進制中有無限多組連續2n個整數為哈沙德數,但並無連續2n+1個整數為哈沙德數[2][3]。1996年T. Cai 證明了以下的事實:在二進制存在無限多組連續四個整數為哈沙德數;在三進制存在無限多組六個整數為哈沙德數。[2]
密度
設N(x)為小於或等於x哈沙德數的數目,對於任何給定的 ε > 0 ,Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon發現:
De Koninck、Doyon和Katai證明:
當 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。
其他進位的哈沙德數
12進位:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...
多重哈沙德數
eg.6804是4重哈沙德數 6804/(6+8+0+4)=6804/18=378 378/(3+7+8)=378/18=21 21/(2+1)=21/3=7 7/7=1
6804是4重哈沙德数
參考
- H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
- Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
- Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
- ^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E., On consecutive Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1993, 31 (2): 146–151 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, (原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24)
- ^ 2.0 2.1 2.2 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II
. Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
- ^ Grundman, H. G., Sequences of consecutive n-Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1994, 32 (2): 174–175 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, (原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24)