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基本元素

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集合論中,基本元素(ur-element, 或urelement)是指那些自身不為集合,但可以是某個集合的元素數學物件。就是說如果 U 是基本元素,則

XU

這一說法是沒有意義的,而

UX

是完全合理的。

這不應該與空集混淆,當我們說

X

這是邏輯上合理的,只不過是假的。

基本元素有時也叫做「原子」或「個體」。

基本元素和公理化

在叫做 Zermelo-Fraenkel 集合論的標準公理化集合論中,沒有基本元素。但是確實有其他公理化集合論使用基本元素,比如:帶有基本元素的 Kripke-Platek 集合論。在帶有類型的集合論系統中,基本元素有時是類型 0 的物件,所以叫做「原子」。在這種理論中,外延公理需要特殊的形式化和處理。

現已發現,向 NF 系統加進基本元素而生成的 NFU系統會產生某些令人驚訝的結論。特別是,NFU 已知是一致的,儘管與 NF 的相對一致性仍是未解的問題。此外,NFU 一致於選擇公理而 NF 則不然。

引用