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定常系統

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古典力學裏,如果一個系統的所有約束都是定常約束(scleronomous constraint),則稱此系統為定常系統(scleronomous system)。定常約束顯性地不含時間。假若約束顯性地含時間,則稱此約束為非定常約束

應用

主要項目:廣義速度

在三維空間裏,一個質量為、速度為的粒子的動能

速度是位置對於時間的導數。應用偏微分連鎖律,可以得到

其中,是第個廣義坐標,是對應的廣義速度。

所以,

將方程式展開[1],動能可以分為三個項目表示:

其中,

分別為廣義速度的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統,位置不顯性地含時間,,則只有不等於零。所以,,動能是廣義速度的2次齊次函數。

實例1:單擺

單擺

如右圖所示,單擺是由一個擺錘與一條繩子組成的簡單機械;繩子的上端固定,下端繫著擺錘。由於這繩子是無法伸縮的,繩子的長度是常數。所以,這系統是定常系統;它遵守定常約束

其中,是擺錘的位置,是擺長。

實例2:受驅擺

單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動。

參考右圖,假設一個單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動:

這裏,振幅角頻率時間

由於無法伸縮繩子的長度是常數,擺錘與繩子上端的直線距離保持不變。但是,因為單擺的繩子上端受到簡諧運動的驅動,這個受驅擺系統是非定常系統;它遵守非定常約束

參閱

參考文獻

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 (英語).