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密度矩陣

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白熾燈(1)發射出的光子處於完全隨機偏振混合態(2),密度矩陣為

通過垂直平面偏振器(3)之後,光子處於垂直偏振純態(4),密度矩陣為

量子力學裏,密度算符(英語:density operator)與其對應的密度矩陣(英語:density matrix)專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 來描述的量子態,混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 、……的機率分別為 、……,則這混合態量子系統的密度算符

注意到所有機率的總和為1:

假設 是一組規範正交基,則對應於密度算符的密度矩陣 ,其每一個元素

對於這量子系統,可觀察量 期望值

是可觀察量 對於每一個純態的期望值 乘以其權值 後的總和。

混合態量子系統出現的案例包括,處於熱力學平衡化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統(因此不知道到底系統處於哪個純態)。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的子系統所組成的純態,則雖然整個系統處於純態,每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子去相干理論裏,密度算符是重要理論工具。

密度算符是一種線性算符,是自伴算符非負算符(英語:nonnegative operator)、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼列夫·郎道各自獨立於1927年給出。[1][2]:48-55[3]

純態與混合態

假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如,假設一個量子系統處於純態 的機率都為50%,則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態,不管是純態,還是混合態,都可以用密度矩陣表示。

混合態與疊加態的概念不同,幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如, 是個純態。

光子偏振案例

平面偏振
平面偏振
圓偏振
圓偏振
橢圓偏振
橢圓偏振
平面偏振(紫色)光波的電場(藍色)可以分解為兩個相互垂直的分量(紅色與綠色)。

光子的兩種圓偏振態,右旋圓偏振態與左旋圓偏振態,分別以態向量 標記。光子也可能處於疊加態,例如,垂直偏振態與水平偏振態分別為 。更一般地,光子偏振所處於的疊加態可以表示為 ;其中, 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。

假若讓處於疊加態 的光子通過左旋圓偏振器,則出射的光子處於左旋圓偏振態 ;假若通過右旋圓偏振器,則出射的光子處於右旋圓偏振態 。對於這兩種圓偏振模,光子強度都會減半,貌似意味著疊加態 的一半光子處於量子態 ,另一半處於量子態 ,但這種解釋並不正確,處於量子態 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收,但是處於量子態 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。

白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子,不能用疊加態 來描述。特別而言,與平面偏振態光子不同,它通過任何偏振器後都會失去50%強度,與圓偏振態光子不同,使用波片(waveplate)不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為,處於 的機率是50%,處於 的機率是50%。它也可以描述為,處於垂直偏振態的機率是50%,處於水平偏振態的機率是50%。

非偏振態光子的量子態不是純態,而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成,或者,它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分,因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料,足夠計算任何關於混合態的可測量性質。

混合態到底源自何處?試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統,這系統擁有很多個微觀態(microstate),伴隨每一個微觀態都有其發生的機率(波茲曼因子),它們會因熱力學漲落(thermal fluctuation)從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序,例如,將光束通過表面粗糙的雙折射晶體,使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制,有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開,這糾纏系統的量子態為 ,整個系統是處於純態,但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子,從分析光子子系統的約化密度算符,可以得到這結論。

一般而言,混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合(例如熱力學平衡)、製備程序的不確定性(例如光子可能移動於稍微不同路徑)、包含在糾纏系統內的子系統(例如EPR機制)。

數學表述

純態

假設一個量子系統的量子態是純態,則這量子態可以用態向量表示為 ,對應的密度算符定義為[4]:309-313

從密度算符的形式,可以推論密度算符是自伴算符

假設,物理量 是這量子系統的可觀察量,其本徵值本徵態 形成一個規範正交基 ,則對可觀察量 做測量得到 的機率 [5]:96-99

其中, 是對應於本徵態 投影算符[註 1]跡數

做實驗測量可觀察量 獲得的期望值

這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則(trace rule)。[6]:36對於不同的規範正交基,跡數是個不變量。採用任何規範正交基,都可以計算出同樣跡數。[註 2]另外,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性,這是很優良的性質,這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。

由於 被歸一化, 密度算符的跡數為1:

對於任意歸一化量子態

所以,密度算符是非負算符(nonnegative operator)。

混合態

將先前純態密度算符的定義式加以延伸,假設在一個量子系統處於純態 、……的機率分別為 、……,則這混合態量子系統的密度算符 [4]:311-313

每一個機率都是非負實值,所有機率的總和為1:

按照「無知詮釋」,這種量子系統確定是處於某個純態,但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」(proper mixture),否則,稱為「瑕混合物」(improper mixture)。[7][註 3]

回想在純態段落裏,機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性,這意味著對於混合態的密度算符,這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符,也具有先前純態的密度算符所擁有的性質:

  • 密度算符是自伴算符:
  • 密度算符的跡數為1:
  • 對可觀察量 做測量得到 的機率為
  • 做實驗測量可觀察量 獲得的期望值
  • 密度算符是非負算符:

由於密度算符 是自伴算符,它具有譜表示

其中,本徵值本徵態,所有 形成一個規範正交基

按照自伴算符的定義,每一個本徵值 是它自己的共軛:

由於密度算符 是非負算符,每一個本徵值 都是非負值。

由於密度算符 的跡數為1,

給定一個量子系統,其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設 屬於這凸集,則 也屬於這凸集;其中, 是係數,[2]:51

用密度算符辨認純態與混合態

由於純態的密度算符定義式為[4]:311-313

所以純態的密度算符具有特徵

否則,非純態的密度算符遵守關係式

另外,將純態的密度矩陣 對角化後,只能有一個對角元素等於1,其它對角元素都等於0,例如,一種形式為[8]:178-183

量子態的純度英語purity (quantum mechanics) 定義為

純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態,其對角元素的數值為 、非對角元素的數值為0,其純度為[6]:40-41

馮諾伊曼熵是另一種描述量子態混合程度的量度。

連續性本徵態基底

位置是一種連續性可觀察量,具有連續性本徵值譜,用這種可觀察量的連續性本徵態為基底,密度矩陣 含有兩個位置參數 [8]:186

可觀察量 的期望值為

複合系統

假設密度算符為 的複合系統是由兩個子系統 組成,這兩個子系統的物理行為分別由其對應約化密度算符(reduced density operator) 描述:[4]:120-125,128-129[註 3]

其中, 分別是對於子系統偏跡數(partial trace)。

這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯(沒有任何量子關聯或古典關聯),若且唯若 張量積

約化密度算符

約化密度算符最先由保羅·狄拉克於1930年提出[9]。假設兩個希爾伯特空間規範正交基分別為,分別在這兩個希爾伯特空間的兩個子系統所組成的複合系統,其量子態為純態,其密度算符

取密度算符對於子系統偏跡數,可以得到子系統的約化密度算符

例如,糾纏態,其子系統的約化密度算符

如同預想,這公式演示出,子系統的約化密度算符為混合態。

範例

設定斯特恩-革拉赫實驗儀器的磁場方向為z-軸,入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束,每一道銀原子束代表一種量子態,上旋或下旋

如右圖所示,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量 分裂成兩道,一道的 為上旋,標記為 ,另一道的 為下旋,標記為

z-軸方向

  • 態向量:
密度矩陣:
  • 態向量:
密度矩陣:

x-軸方向

  • 態向量:
密度矩陣:
  • 態向量:
密度矩陣:

y-軸方向

  • 態向量:
密度矩陣:
  • 態向量:
密度矩陣:

完全隨機粒子束

完全隨機粒子束的量子態不是純態,它可以由50% 純態與50% 純態組成:

它也可以由50% 純態與50% 純態組成:

另外,它還可以由50% 純態與50% 純態組成,因此可見,不同的組合仍可得到同樣的混合態。

一般而言,完全隨機粒子束的 密度矩陣 ,經過對角化之後,可以寫為[8]:186

熱平衡態

對於一組能量本徵態熱平衡下的混態

其中,以及配分函數。對於不含時哈密頓算符,熱平衡的混態是不隨時間演化的。[10]

馮諾伊曼方程式

薛丁格方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化,馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言,這兩種方程式等價,因為它們彼此都可以推導出對方。假設,在時間 ,量子系統的密度算符為

其中,量子系統在時間 處於純態 的機率是

假若不攪擾這量子系統,則機率 跟時間無關。在時間 ,純態 遵守含時薛丁格方程式

其中, 是約化普朗克常數,哈密頓算符

所以,馮諾伊曼方程式表示為[11][12]

其中,方括弧代表對易算符

注意到只有當採用薛丁格繪景時(必須採用薛丁格繪景來計算密度算符)這方程式才成立,雖然這方程式看起來很像海森堡繪景海森堡方程式,唯一差別是關鍵的正負號:

其中, 是某種採用海森堡繪景的算符。

在海森堡繪景裏,密度算符與時間無關,正負號差別確使期望值 對於時間的導數會得到與薛丁格繪景相同的結果。[註 4]

假若哈密頓算符不含時,則可從馮諾伊曼方程式推導出

馮諾伊曼熵

對於兩體純態系統,馮諾伊曼熵 (豎軸)與本徵值 (橫軸)之間的關係曲線。

量子統計力學(quantum statistical mechanics)裏,馮諾伊曼熵(von Neumann entropy)是古典統計力學關於概念的延伸。對於密度矩陣為 的混合態,馮諾伊曼熵定義為[13]:301

這公式涉及到矩陣對數(logarithm of a matrix),似乎很難計算,[註 5]但密度算符 是自伴算符,具有譜表示[8]:186-188

其中,本徵值本徵態,所有 形成一個規範正交基

因此,可以將密度矩陣 對角化,將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 定義為

馮諾伊曼熵 又可以寫為

從這形式,可以推論馮諾伊曼熵與古典資訊論裏的夏農熵(Shannon entropy)相關。[13]

在這裏,可以視每一個本徵值 為處於本徵態 的機率。假若某事件的發生機率為零,則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言,以下極限為零:

因此,可以採用約定

純態的馮諾伊曼熵為零,因為其密度矩陣對角化之後,只有一個元素為1,其它均為0。即所有對角元素 必定滿足

完全隨機混合態的 密度矩陣,其馮諾伊曼熵

假若,將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度,則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 ,而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵

每一次做投影測量,馮諾伊曼熵都會增加,永遠不會減少,但是,對於廣義測量(generalized measurement),馮諾伊曼熵可能會減少。[14][15]混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此,純態可以通過投影測量改變為混合態,但是,非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變,如同波函數塌縮。實際而言,相當反直覺地,投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容,請參閱條目量子去相干

一個量子系統的子系統可以從混合態改變為純態,但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加,就好似將一個物體放進冰箱來降低其,冰箱熱交換器外的空氣會變暖,而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容,請參閱條目熱力學第二定律

參閱

註釋

  1. ^ 對於本徵態 的投影算符 ,假若作用於量子態 ,則會得到 與對應機率幅的乘積:
    其中, 是在本徵態 裏找到 機率幅
  2. ^ 給定兩個規範正交基 ,對於任意算符
    因此,對於不同的規範正交基,跡數是個不變量。
  3. ^ 3.0 3.1 量子去相干裏,約化密度算符代表的是反常混合物,它不能被視為處於某個未知的純態;它是依賴環境與系統之間的交互作用使得所有的非對角元素趨於零,實際而言,這些非對角元素所表現的量子相干性已被遷移至環境,只有從整個密度算符才能查覺到這量子相干性的存在。[6]:48-49
  4. ^ 在薛丁格繪景裏,純態隨著時間而演化的形式為
    因此,密度算符與時間無關:
    採用薛丁格繪景來計算密度算符這動作很合理,因為密度算符是由薛丁格包量與薛丁格括量共同組成,而這兩個向量都是隨著時間流逝而演進。
  5. ^ 矩陣對數(logarithm of a matrix)也是矩陣;後者的矩陣指數等於前者。這是純對數的推廣。這運算是矩陣指數的反函數。並不是所有矩陣都有對數,有些矩陣有很多個對數。

參考資料

  1. ^ von Neumann, John, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten, 1927, 1: 245–272 
  2. ^ 2.0 2.1 Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development 2nd, illustrated, reprint. World Scientific. 1998. ISBN 9789810241056. 
  3. ^ Fano, Ugo, Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques, Reviews of Modern Physics, 1957, 29: 74–93, Bibcode:1957RvMP...29...74F, doi:10.1103/RevModPhys.29.74. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 
  5. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Maximilian A. Schlosshauer. Decoherence: And the Quantum-To-Classical Transition. Springer Science & Business Media. 1 January 2007. ISBN 978-3-540-35773-5. 
  7. ^ Bernard d' Espagnat. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics. Advanced Book Program, Perseus Books. 1999. ISBN 978-0-7382-0104-7. 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  9. ^ Dirac, P. A. M. Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2008, 26 (3): 376. Bibcode:1930PCPS...26..376D. doi:10.1017/S0305004100016108. 
  10. ^ {S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) [Accessed: September 25, 2023]}
  11. ^ Breuer, Heinz; Petruccione, Francesco, The theory of open quantum systems: 110, ISBN 9780198520634 
  12. ^ Schwabl, Franz, Statistical mechanics: 16, 2002, ISBN 9783540431633 
  13. ^ 13.0 13.1 Bengtsson, Ingemar; Zyczkowski, Karol. Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement 1st. 
  14. ^ Nielsen, Michael; Chuang, Isaac, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000, ISBN 978-0-521-63503-5 . Chapter 11: Entropy and information, Theorem 11.9, "Projective measurements cannot decrease entropy"
  15. ^ Everett, Hugh, The Theory of the Universal Wavefunction (1956) Appendix I. "Monotone decrease of information for stochastic processes", The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press: 128–129, 1973, ISBN 978-0-691-08131-1