幾何分布
機率質量函數
|
累積分布函數
|
母數
|
成功機率(實)
|
成功機率(實)
|
支撐集
|
|
|
機率質量函數 (pmf)
|
|
|
累積分布函數 (cdf)
|
|
|
期望值
|
|
|
中位數
|
(如果 是整數,則中位數不唯一)
|
(如果 是整數,則中位數不唯一)
|
眾數
|
|
|
變異數
|
|
|
偏度
|
|
|
超值峰度
|
|
|
熵
|
|
|
動差生成函數 (mgf)
|
, for
|
|
特徵函數
|
|
|
在機率論和統計學中,幾何分布(英語:Geometric distribution)指的是以下兩種離散型機率分布中的一種:
- 在伯努利試驗中,得到一次成功所需要的試驗次數
。
的值域是{ 1, 2, 3, ... }
- 在得到第一次成功之前所經歷的失敗次數
。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }
實際使用中指的是哪一個取決於慣例和使用方便。
這兩種分布不應該混淆。前一種形式(
的分布)經常被稱作shifted geometric distribution;但是,為了避免歧義,最好明確地說明取值範圍。
如果每次試驗的成功機率是
,那麼
次試驗中,第
次才得到成功的機率是,
![{\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5526852032ac99a1ecfaa85c89cc58ce2d2daf71)
其中
.
上式描述的是取得一次成功所需要的試驗次數。而另一種形式,也就是第一次成功之前所失敗的次數,可以寫為,
![{\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433fb41a422857b6dd796a5b21ad1a3afa5a88b)
其中
兩種情況產生的序列都是幾何數列。這是幾何分布的名字來源。
比如,假設不停地擲骰子,直到得到1。投擲次數是隨機分布的,取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... },並且是一個
的幾何分布。
性質
呈幾何分布的隨機變數X的期望值是1/p,變異數是 (1-p)/p2:
![{\displaystyle \mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb7082ee95978b6bf522a0d1538ccea033fc49f)
幾何分布具有非記憶性的性質(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)
這表示如果一個隨機變數呈幾何分布,它的條件機率遵循:
s, t ∈ℕ.
記號
若隨機變數
服從母數為
的幾何分布,則記為
.
用途
在重複多次的伯努利試驗中,試驗進行到某種結果出現第一次為止,此時的試驗總次數服從幾何分布,如:射擊,首次擊中目標時的次數。
參見