度數矩陣

在數學領域圖論中，無向圖的度數矩陣（英語：degree matrix）是一個對角矩陣 ，其中包含的信息為的每一個頂點的度數，也就是每個頂點相鄰的邊數。 它可以和鄰接矩陣一起使用以構造圖的拉普拉斯算子矩陣（拉普拉斯矩陣是度數矩陣和鄰接矩陣的差值）。

定義

給定一個圖 $G=(V,E)$ 與 $|V|=n$， $G$的度數矩陣 $D$是一個 $n\times n$的對角線矩陣，其定義為

$d_{i,j}:=\left\{{\begin{matrix}\deg(v_{i})&{\mbox{if}}\ i=j\\0&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

其中度數 $\deg(v_{i})$為這個頂點上的邊的條數。 在無向圖中，這意味著每個環會使得度數增加2。 在有向圖中，術語「度」可以指「入度」（indegree，終點在這個頂點的邊的條數）或「出度」（ outdegree，起點在這個頂點的邊的條數）。

例子

下面的無向圖有一個6x6的度數矩陣，其數值為。

Vertex labeled graph	度數矩陣
	${\begin{pmatrix}4&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&2&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

注意，對於無向圖而言，開始和結束於同一節點的邊（即環，如上圖中的節點1）會使相應的度增加2（即被計算兩次）。

性質

一個k-正則圖的度數矩陣是恆為$k$的對角線矩陣。

根據度的總和公式，度數矩陣的跡是對應圖的邊數的兩倍。