康托爾函數

區間[0,1]上的康托爾函數

在數學中，以數學家格奧爾格·康托爾命名的康托爾函數，是一個一致連續，卻不絕對連續的函數。

定義

康托爾函數 c : [0,1] → [0,1] ，對於x∈[0,1]，其函數值c(x)可由以下步驟得到：

1. 以三進制表示x。
2. 如果x中有數字1，就將第一個1之後的所有數字換成0。
3. 將所有數字2換成數字1。
4. 以二進制讀取轉換之後的數，這個數即為c(x)。

例如：

• 1/4以三進制表示為0.020202...，其中並沒有1，因此經過第二步仍然是0.020202...，第三步轉換為0.010101...，將其視為二進制，則為1/3，因此c(1/4)=1/3。
• 1/5以三進制表示為0.01210121...，第二步轉換為0.01，由於其中沒有2，因此經過第三步後仍是0.01，視為二進制則為1/4，因此c(1/5)=1/4。
• 200/243以三進制表示為0.21102(即0.2110122222...)，第二步轉換為0.21，第三步轉換為0.11，視為二進制則為3/4，因此c(200/243)=3/4。

其它定義

性質構造

若在[0, 1]上定義的f(x)滿足下列四個條件，則f(x)即為康托爾函數：

1. $\forall 0\leq x<y\leq 1,f(x)\leq f(y)$
2. $f(0)=0$
3. $f({\frac {1}{3}}x)={\frac {1}{2}}f(x)$
4. $f(1-x)=1-f(x)$

迭代構造

下面我們構造一個函數序列{f_n(x)}，這個序列將收斂於康托爾函數： 首先定義

$f_{0}(x)=x$

接下來，對於每個正整數n，函數f_n+1(x)都由函數f_n(x)定義：

$f_{n+1}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x)&{\mbox{if }}0\leq x<{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}{\frac {1}{3}}\leq x<{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x-2)&{\mbox{if }}{\frac {2}{3}}\leq x\leq 1\end{cases}}$

檢查 f_n(x)是否每個點都收斂於之前定義的康托爾函數，我們可以發現，

$\max _{x\in [0,1]}|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2}}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n-1}(x)|,\quad n\geq 1.$

設f(x)是極限函數, 那麼對於任意非負整數n都有，

$\max _{x\in [0,1]}|f(x)-f_{n}(x)|\leq 2^{-n+1}\,\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|.$

另外可以注意到只要滿足f₀(0) = 0, f₀(1) = 1 且f₀ 有界，起始函數f₀(x)具體是什麼函數並不重要。