畢達哥拉斯恆等式的視覺證明
數學恆等式列表:
定義
恆等式(英語:Identity Equation)是指等式等號兩邊永遠相等的表達式。[1]恆等式的等號可用恆等號(≡)表示。
以下是常見的乘法公式:
- 分配律:
![{\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7fb0d8960937e305dab7a7edbc7a3ddcf411f5)
- 和平方:
- 三項和平方:
![{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4824ee6b31c6b7caca86d3a4faf6ffcbd57a0d34)
- 差平方:
- 三數差平方:
![{\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b557cddab8021dc679d1279fccd257dab4eb8ab4)
- 平方和:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad719727ff6c5a74aec581d70954f80b4c3fa74)
- 平方差:
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6bfb6789247f87b44050ca56a610a1241a2fd9)
- 和立方:
![{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ef62718784cde29ee2d8fceccc8ad4ea4fe32d)
- 差立方:
![{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb14b649d077d09fc515bf6c1fc13e6d14ece4c)
- 立方和:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145849c63846541ae6286666a42dceeac3b49b91)
- 立方差:
![{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ea20c8f6f59823869ad9bd498f475efb0dd11e)
- 等冪求和:
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505b1999bfc9b748561ce425cb7c2e461c7b2904)
- 等冪和差:
![{\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe3460ce3e00ce1988e6d1f37f26abae5091ce3)
- 平方和、平方差延伸:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fae0636d5433107431f6eff486b567577368cff)
- 多項式平方:
![{\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e22c8d696b5993e2507206ed493b94f0a1e5240)
- 三數和立方:
![{\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca266b0bdc8e5c5bba9f0dd964e9f19153e850d)
著名等式
- 貝祖等式:雖然名稱有「等式」一詞,但這是最大公因數的定理,得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。
- 二項式逆定理:由伍德伯里矩陣恆等式(Woodbury matrix identity)衍生的定理。
- 二項式定理:說明了二項式的冪的代數展開的定理。
- 婆羅摩笈多-斐波那契恆等式:
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb9aaf2e9bcaf60d782472e029800bccab43fbb)
- 坎迪多等式:
![{\displaystyle \left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea86665c9677811196fd25c2fe03cd74cb0e20f1)
- 歐拉四平方和恆等式:如果兩個數都能表示為四個平方數的和,則這兩個數的積也能表示為四個平方數的和。
- Degen八平方和恆等式:如果兩個數都能表示為八個平方數的和,則這兩個數的積也能表示為八個平方數的和。
- 歐拉恆等式:
,包括虛數單位以及二個超越數的等式。
- 卡西尼及卡塔蘭恆等式:有關斐波那契數列的等式,
。
- 海涅恆等式:有關平方根倒數函數的傅立葉展開的恆等式。
- 海曼恆等式:有關下取整函數(floor)求和的恆等式。
- 拉格朗日恆等式:
![{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f49bd227a46f96ec2f58ec731db68a1bf2c10b)
- 三角恆等式:許多有關三角函數的恆等式。
- Enumerator polynomial
- Matrix determinant lemma
- 牛頓恆等式:描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係
- 帕塞瓦爾恆等式:
,「函數的傅立葉係數的平方和」與「函數平方後的積分值」可以直接換算。
- Pfister's sixteen-square identity
- Sherman–Morrison formula
- Sophie Germain identity
- Sun's curious identity
- Sylvester's determinant identity
- 范德蒙恆等式:
,是有關組合數的求和公式。
- 伍德伯里矩陣恆等式:
![{\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffa2c14bb438728d93f2cdf7ea6657338ab8fb7)
函數恆等式
參見
參考資料
外部連結