指數映射 (李群)

在微分幾何中，指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。

定義

設 $M$ 為微分流形，$\nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM$ 為其上的仿射聯絡。給定任一點 $p\in M$。根據常微分方程的基本理論，存在切空間 $T_{p}M$ 中的開子集 $U\ni p$ 及光滑映射 $\gamma :U\times [0,2]\to M$，使得：

• $\gamma (0,-)=p$
• 對每個 $v\in U$，映射 $\gamma (v,-):[0,2]\to M$ 是測地線。
• 承上，${\frac {d}{dt}}|_{t=0}\gamma (v,t)=v$。

對夠小的 $U$，映射 $\gamma$ 是唯一的。定義點 $p$ 的指數映射為

$\exp(w)=\gamma (w,1)\quad (w\in U)$

由於常微分方程解的存在性只是局部性的，指數映射一般不能定義在整個 $T_{p}M$ 上，在黎曼流形的情形，霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外，指數映射通常也不是滿映射，而是 $p$ 的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標。

從幾何上看，指數映射exp(p,v)是把切叢中的一個切向量v，映射到以(p,v)為初始條件的測地線從點p量起弧長等於|v|的點。

李群的情形

設 $G$ 為李群，取定左、右不變之仿射聯絡，可得在整個李代數上定義的指數映射 $\exp :{\mathfrak {g}}\to g$。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質：

• 若 $[X,Y]=0$，則 $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$；對一般情形，左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
• $\exp({\mathfrak {g}})$ 在群論的意義下生成 $G$。
• 設 $\phi \colon G\to H$ 為李群同態，$\phi _{*}$ 為它在單位元處的拉回作用，則我們有一交換圖

• 重要的特例是 $G=H$ 而 $\phi =\mathrm {Ad} _{g}$（伴隨作用），此時有
  • $g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,$
  • $\mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X})\,$

取 $G=(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )$，相應者便是尋常的指數函數 $x\mapsto e^{x}$。取 $G=(\mathbb {R} ^{n},+)$，相應者是恆等映射 $\mathrm {id} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$。

事實上，對複李群及任何完備域上的解析李群都能定義指數映射。

文獻

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
• Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).