數書九章
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《數書九章》又名《數學九章》,共18卷,南宋數學家秦九韶著於淳祐七年(1247年)。
題材
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《數書九章》題材廣泛,取自宋代社會各方面,包括農業、天文、水利、城市布局、建築工程、測量、賦稅、兵器、軍旅等方面,是一部實用數學大全。
《數書九章》十八卷,分為九類,每類九問,共九九八十一問。
- 第一,二卷:一大衍類:蓍卦發微,古歷會積,推計土功,推庫額錢,分糶推原,程行計地,程行相及,積尺尋源,余米推數。
- 第三,四卷:二天時類;推氣治歷,治歷推閏,治歷演紀,綴術推星,揆日究微,天池測雨,圓罌測雨,峻積驗雪,竹器驗雪。
- 第五,六卷:三田域類;尖田求積,三斜求積,斜盪求積,計地容民,蕉田求積,均分梯田,漂田推積,環田三積,圍田先計。
- 第七,八卷:四測望類;望山高遠,臨台測水,陡岸測水,表望方城,遙度圓城,望敵圓營,望敵遠近,古池推元,表望浮圖。
- 第九,十卷:五賦役類;服邑修賦,圍田租畝,築梗均勞,寬減屯租,戶田均寬,均科綿稅,戶稅移割,移運均勞,均定勸分。
- 第十一,十二卷:六錢穀類;折解輕齎,算回運費,課糴貴賤,囤積量容,積倉知數,推知糴數,分定綱解,累收庫本,米穀粒分。
- 第十三,十四卷:七營建類;計定城築,樓櫓功料,計造石壩,計浚河渠,計作清台,堂皇程築,砌磚計積,竹圍蘆束,積木計余。
- 第十五,十六卷:八軍旅類;計立方營,方變銳陣,計布圓陣,圓營敷布,望知敵眾,均敷徭役,先計軍程,軍器功程,計造軍衣。
- 第十七,十八卷:九事物類;推求物價,均貨攤本,互易推本,菽粟互易,推計互易,鍊金計值,推本求息,推求典本,僦值推原。
內容
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算術
- 用分數計算折扣;折解輕齎,米穀粒分,課糴貴賤。
- 百分比計算;鍊金計值,推求典本,累收庫本。
- 比例;先計軍程,均科綿稅,堂皇程築,軍器功程,互易推本,菽粟互易,推計互易。
- 盈不足術;計造軍衣。
- 級數;綴術推星,計造石壩,積木計余,圓營敷布,竹圍蘆束,推本求息,計立方營。
幾何學
- 面積計算;三斜求積,斜盪求積,蕉田求積。
《數書九章》第五卷 第二問「三斜求積」。
- 問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。里法三百步,欲知為田幾何?
- 答曰:田積三百一十五頃。
- 術曰:以少廣求之。以小斜冪並大斜冪減中斜冪,余半之,自乘於上。以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,為實。一為從隅,開平方之,得積。
其中,「三斜」即「大斜」、「中斜」、「小斜」,是三角形從大到小的三條邊。秦九韶列出的面積公式是:
,其中 , 這個公式和海倫公式是等價的。
- 重差測量;望山高遠,臨台測水,陡岸測水,表望方城,遙度圓城,望敵圓營,表望浮圖。
- 體積計算;天池測雨,圓罌測雨。
多項式方程式
- 均分梯田,古池推元,囤積量容,計布圓陣,推知糴數,尖田求積,環田三積,遙度圓城。
秦九韶的《數書九章》詳細敘述二十六個二次到十次方程式的的實數根的數值解,其中包含二十個二次方程式,一個三次方程式,四個四次方程式和一個十次方程式 [1]。三上義夫指出,秦九韶算法起源於漢代《九章算術》的開方法。前蘇聯數學史家尤什克維奇說「這是中國傳統數學最偉大成就之一」,他還說印度人不知有此方法,而阿拉伯數學家可能從中國先人傳入此方法[2],六百年之後,英國數學家威廉·喬治·霍納重新發現此法。
《數書九章》「《遙度圓城》」 題列出一個十次方程式,求解圓城的直徑:
- ,得精確解 [3]。
線性方程組
- 綴術推星,推求物價,均貨攤本。
線性方程組的消去法起源於《九章算術》卷八《方程式》章。秦九韶在《數書九章》卷17第73問發展了《九章算術》的消去法,創造了互乘消去法[4]。
大衍術
- 蓍卦發微,古歷會積,推計土功,推庫額錢,分糶推原,程行計地,程行相及,積尺尋源,余米推數。
天文曆法
版本
- 明 《永樂大典》 《數學九章》 十八卷
- 清 《四庫全書》 《數學九章》 三冊
- 清 道光 宜稼堂叢書 《數書九章》
- 商務印書館 叢書集成。《數書九章》一至五冊。#1269-#1273。按宜稼堂叢書本排印。
- 秦九韶 原著,王守義 遺著,李儼 審校:《數書九章新釋》。安徽科學技術出版社,1992。ISBN 7-5337-0788-5/O
參考文獻
引用
來源
- 吳文俊 主編:《中國數學史大系》,第五卷,第三、四、五編。
- [比利時]李倍始(Ulrich Libbrecht): Chinese Mathematics in the Thirteen Century (The Shu-Shu-Chiu-Chang of Chin Chiu shao). Dover Publication. ISBN 0486446190
- 秦九韶 原著,王守義 遺著,李儼 審校:《數書九章新釋》。安徽科學技術出版社,1992。ISBN 7-5337-0788-5/O
- 吳文俊 主編:《秦九韶與數書九章》。北京師範大學出版社,1987。
- 李儼:《大衍求一術的過去和未來》。《李儼錢寶琮科學史全集》,卷6,116-163。遼寧教育出版社。
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