無因次量
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在因次分析中,無因次量[1](dimensionless quantity)又稱無量綱量、因次為一的量[2][3](quantity of dimension one)[註 1]指的是沒有因次的量。它是個單純的數字,因次為1[4]。
無因次量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中(如數數)被廣泛使用。一些廣為人知的無因次量包括圓周率(π)、歐拉常數(e)和黃金分割率(φ)等。與之相對的是有因次量,擁有諸如長度、面積、時間等單位。
無因次量常寫作兩個有因次量之積或比,但其最終的綱量互相消除後會得出無因次量。比如,應變是量度形變的量,定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的因次均為L(長度),因此相除後得出的量是沒有因次的。
屬性
- 雖然無因次量本身沒有因次,但是它也有時被加以無因次的單位。在分子和分母使用同樣的單位(kg/kg或mol/mol),有時可以幫助表達所測量的數值(如質量百分濃度或摩爾分數等)。某些量還可以表示為不同的單位之比,但這兩個單位的因次相同(如光年除以米)。這種做法可以用於計算圖表中的斜率,或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在因次,而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無因次量有:%=0.01,百分比;‰=0.001,千分比;ppm=10−6,百萬分比;ppb=10−9,十億分比;ppt=10−12,兆分比(萬億分比)以及角單位(度、弧度、百分度)等等。
- 兩個具有相同因次之比是沒有因次的,而且無論用甚麼單位計算,該量還是不變的。例如,如果物體A對物體B施大小為F的作用力,那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1(見牛頓第三定律),而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設:物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1,而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話,這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制,而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎,其表述為:所有物理定律均能以數個無因次量的數學組合(加、減、乘、除等等)寫成恆等式。如果無因次量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話,那麼白金漢π定理就不成立了。
白金漢π定理
白金漢π定理的另一項推論為,如果n個變數之間有某種函數關係,而這些變數中有k個獨立的因次,則可以產生p = n − k個獨立的無因次量。
例子
某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量
這n = 5個變量共由以下k = 3個因次組成:
- 長度:L (m)
- 時間:T (s)
- 質量:M (kg)
根據該定理,通過組合這n = 5個變量,可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無因次量。此例中的這兩個無因次量分別為:
例子
- 在10個蘋果中,有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%,這是個無因次量。
- 角:角的定義為,以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得,因此是個無因次量。當所用的(無因次)單位為弧度時,那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時,「另一長度」就是圓周長的360分之1。
- 圓周率是個無因次量,定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時(厘米、英里、光年等等)都會是相同的,只要周長和直徑以同樣的單位量度。
無因次量列表
下表中所有的量均為無因次量:
名稱 | 標準符號 | 定義 | 應用範疇 |
---|---|---|---|
阿貝數 | V | 光學(光的色散) | |
活度系數 | γ | 化學(活躍分子或原子佔總數之比) | |
反照率 | 氣候學、天文學 | ||
勞侖茲因子 | 相對論 | ||
阿基米德數 | Ar | 密度差造成的流體運動 | |
阿倫尼烏斯數 | 活化能與熱能之比[5] | ||
相對原子質量 | M | 化學 | |
伯格諾德數 | Ba | 固體塊的流動(如米粒或沙子)[6] | |
比贊數 (熱力學) |
Be | 熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比[7] | |
比贊數 (流體力學) |
Be | 沿著通道的壓力差[8] | |
賓漢數 | Bm | 屈服應力與黏滯應力之比[5] | |
畢奧數 | Bi | 固體的表面傳導率與體積傳導率之比 | |
布萊克數 | Bl或B | 流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性 | |
博登斯坦數 | Bo | 停留時間的分佈 | |
邦德數 | Bo | 由浮力推動的毛細作用[9] | |
布林克曼數 | Br | 從容器壁到黏性流體的熱傳導 | |
Brownell-Katz數 | 毛細管數和邦德數的組合 | ||
毛細管數 | Ca | 受表面張力影響的流體流動 | |
錢德拉塞卡數 | 磁對流,用以表達洛倫茲力與黏度之比 | ||
靜摩擦係數 | 物體間的靜摩擦 | ||
動摩擦係數 | 物體互相滑動時的摩擦 | ||
柯爾伯恩j因數 | 熱傳導的無因次係數 | ||
庫朗數 | 雙曲型偏微分方程之解[10] | ||
達姆科勒數 | Da | 反應時間與共振時間之比 | |
阻尼比 | 系統中阻尼的程度 | ||
達西阻力係數 | 或 | 流體流動 | |
狄恩數 | D | 彎曲管道中的流體渦 | |
底波拉數 | De | 粘彈性流體的流動學 | |
分貝 | dB | 兩個強度之比,通常用於聲音 | |
阻力系數 | 流動阻力 | ||
Dukhin數 | Du | 異質系統中表面電導率與體積電導率之比 | |
歐拉常數 | e | 數學 | |
埃克特數 | Ec | 熱對流傳導 | |
埃克曼數 | Ek | 地球物理學(黏質阻力) | |
彈性 | E | 經濟學,常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響 | |
厄特沃什數 | Eo | 判斷汽泡或液滴形狀 | |
埃里克森數 | Er | 液晶流動特性 | |
歐拉數 (物理學) | Eu | 流體動力學(壓力與慣性力之比) | |
過量溫度係數 | Θr | 熱力學與流體動力學[11] | |
范寧摩擦係數 | f | 管道中的流體流動[12] | |
費根鮑姆常數 | 混沌理論(週期倍增)[13] | ||
精細結構常數 | 量子電動力學 | ||
焦比 | 光學、攝影 | ||
Foppl-von Karman數 | 薄殼失穩 | ||
傅立葉數 | Fo | 熱傳導 | |
菲涅耳數 | F | 狹縫衍射[14] | |
福祿數 | Fr | 波和表面行為 | |
增益 | 電子學(信號輸出與信號輸入之比) | ||
速比 | 單車傳動[15] | ||
伽利萊數 | Ga | 引力造成的黏質流動 | |
黃金分割比 | 數學、美學 | ||
格雷茨數 | Gz | 熱流 | |
格拉斯霍夫數 | Gr | 自由對流 | |
重力耦合常數 | 重力 | ||
八田數 | Ha | 化學反應造成的吸附增強 | |
哈根數 | Hg | 強制對流 | |
水力梯度 | i | 地下水流動 | |
雅各布數 | Ja | 液汽相變時所吸收的顯能與潛能之比[16] | |
Karlovitz數 | 湍流燃燒 | ||
Kc數 | 震盪流場中物體的阻力與慣性之比 | ||
克努森數 | Kn | 分子平均自由程長度與某代表性長度之比 | |
尿素清除指數 | Kt/V | 醫學 | |
Kutateladze數 | K | 兩相逆流 | |
拉普拉斯數 | La | 混溶流體中的自由對流 | |
路易斯數 | Le | 質量擴散率與熱擴散率之比 | |
升力係數 | 在某攻角下翼型的升力 | ||
Lockhart-Martinelli參數 | 濕氣的流動 [17] | ||
樂甫數 | 地球的硬性 | ||
倫德奎斯特數 | ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma | ||
馬赫數 | M | 氣體動力學 | |
磁雷諾數 | 磁流體力學 | ||
曼寧糙率係數 | n | 開放管道流體流動(由引力推動)[18] | |
馬蘭戈尼數 | Mg | 由熱表面張力偏差引起的馬蘭戈尼流 | |
莫頓數 | Mo | 判斷汽泡或液滴形狀 | |
彭巴數 | 溶液冷凍時的熱傳導與擴散[19] | ||
努塞爾特數 | Nu | 強制對流下的熱傳導 | |
奧內佐格數 | Oh | 液體霧化,馬蘭戈尼流 | |
佩克萊特數 | Pe | 平流-擴散問題,總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係 | |
剝離數 | 微觀結構與底物的黏附作用[20] | ||
導流係數 | K | 在帶電離子束中空間電荷的強度 | |
圓周率 | 數學(圓周長與直徑之比) | ||
泊松比 | 彈性(橫向與縱向負荷) | ||
多孔性 | 地質學 | ||
功率因數 | 電子學(有功功率與視在功率之比) | ||
功率數 | 攪拌器的功率消耗 | ||
普蘭特數 | 黏性擴散率與熱擴散率之比 | ||
壓力係數 | 翼型上某個點的壓力 | ||
品質因子 | 描述振子的阻尼 | ||
弧度 | 量度平面角, | ||
瑞利數 | 自由對流中的浮力和黏滯力 | ||
折射率 | n | 電磁學、光學 | |
雷諾數 | 流體的慣性力與黏滯力之比[5] | ||
比重 | RD | 比重計,物質間的比較 | |
理查遜數 | Ri | 浮力對流動穩定性的影響[21] | |
洛氏硬度 | 硬度 | ||
滾動阻力係數 | Crr | 車輛動力學 | |
羅斯貝數 | 地球物理學中的慣性力,描述科里奧利力的影響程度 | ||
勞斯數 | Z或P | 沈積物流移 | |
施密特數 | Sc | 流體動力學(質量轉移與擴散)[22] | |
形狀因數 | H | 邊界層流動中排移厚度與動量厚度之比 | |
舍伍德數 | Sh | 強制對流中的質量轉移 | |
希爾茲參數 | τ∗或θ | 流體運動造成的沈積物流移的臨界 | |
索默菲德數 | 邊層潤滑[23] | ||
斯坦頓數 | St | 強制對流中的熱傳遞 | |
史蒂芬數 | Ste | 相變時的熱傳遞 | |
斯托克斯數 | 或 | 流體流中的粒子動力學 | |
應變 | 材料科學、彈性 | ||
斯特勞哈爾數 | St或Sr | 持續並脈動的流體流動[24] | |
泰勒數 | Ta | 旋轉的流體流動 | |
Ursell數 | U | 在淺流體層上表面引力波的非線性度 | |
Vadasz數 | Va | 在多孔介質中流體流動時,該數影響多孔性、普蘭特數以及達西阻力係數 | |
范特霍夫因子 | i | 化學定量分析(Kf及Kb) | |
Wallis參數 | J* | 多相流體流動時的表現速 | |
韋伯數 | We | 表面極為彎曲的多相流體流動 | |
魏森貝格數 | Wi | 粘彈性流體流動[25] | |
沃默斯利數 | 持續並脈動的流體流動[26] |
無因次的物理常數
一些基本物理常數,如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波茲曼常數等等,在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後,可以歸一(數值為1)。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一,剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括:
- α:精細結構常數,電磁交互作用的耦合常數,α ≈ 1/137;
- μ或β:質子與電子的不變質量之比,可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比,μ ≈ 1836;
- αs:強相互作用的耦合常數;
- αG:重力的耦合常數,αG ≈ 1.75×10−45。
注釋
- ^ 其他稱呼另有:無維量、無維度量、無維數量、無次元量等
參見
參考文獻
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外部連結
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- Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) Naval Research Laboratory. p. 23 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 24 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 25 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
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