最大流問題

一個網路最大流的例子。源點為 s，匯點為 t。數字表示流和容量。

在最佳化理論中，最大流問題（英語：Maximum flow problem）涉及到在一個單源點、單匯點的網路流中找到一條最大的流。

最大流問題可以被看作是一個更複雜的網路流問題（迴圈問題，circulation problem）的特殊情況。s-t流（從源點s到匯點t）的最大值等於s-t割的最小容量，這被稱為最大流最小割定理。

歷史

最大流問題最早是在1954年由泰德·哈里斯和F·S·羅斯（F. S. Ross）通過一個蘇聯鐵路的交通流量的簡化模型提出的。 1955年，小萊斯特·倫道夫·福特和德爾伯特·雷·富爾克森建立了第一個已知的演算法，福特-富爾克森演算法。

多年來，最大流問題的各種改進演算法被發現，例如傑克·埃德蒙茲、理察·卡普和葉菲姆·迪尼茨的最短增廣路演算法；迪尼茨的阻塞流演算法；安德魯·V·戈德堡和羅伯特·塔揚的Push-Relabel演算法；戈德堡和Rao的binary阻塞流演算法；Christiano、Kelner和亞歷山大·馬德瑞（Aleksander Madry）的電流演算法；Spielman發現一個最大流近似最佳解，但僅適用於無向圖。

定義

一個網路流，源點為 s，匯點為 t。邊上的數字為容量。

設$N=(V,E)$為一個網路，其中$s$和$t$分別是$N$的源點和匯點（$s,t\in V$）。

一個邊的容量為對映$c:E\to \mathbb {R} ^{+}$，記為$c_{uv}$或$c(u,v)$。它表示可以通過一條邊的流量的最大值。

一個流為一個對映$f:E\to \mathbb {R} ^{+}$，記為$f_{uv}$或$f(u,v)$，遵循下面兩個限制：

1. 對於每個$(u,v)\in E$，有$f_{uv}\leq c_{uv}$（即容量限制：一個邊的流量不能超過它的容量）；
2. 對於每個$v\in V\setminus \{s,t\}$，有$\sum _{u:(u,v)\in E}f_{uv}=\sum _{u:(v,u)\in E}f_{vu}$（即流的保留：流入一個節點的流的總和必須等於流出這個節點的流的總和，源點和匯點除外）。

流量定義為 $|f|=\sum _{v:(s,v)\in E}f_{sv}$，其中$s$為$N$的源點，它表示從源點到匯點的流的數量。

最大流問題就是最大化$|f|$，即從$s$點到$t$點儘可能規劃最大的流量。

解法

演算法	複雜度	描述
線性規劃
福特-富爾克森演算法	O(E max| f |)
埃德蒙茲-卡普演算法	O(VE2)	福特-富爾克森演算法的特例，使用廣度優先搜尋尋找增廣路徑.
迪尼茨阻塞流演算法	O(V2E)
MPM (Malhotra, Pramodh-Kumar and Maheshwari)演算法	O(V3)	只適用於無環圖。參考 Original Paper.
Dinic演算法	O(VE log(V))
push-relabel maximum flow演算法	O(V2E)
Push-relabel演算法，使用FIFO vertex selection rule	O(V3)
Push-relabel演算法，使用 dynamic trees	$O\left(VE\log {\frac {V^{2}}{E}}\right)$
KRT (King, Rao, Tarjan)演算法	$O(EV\log _{\frac {E}{V\log V}}V)$
Binary阻塞流演算法	$O\left(E\cdot \min(V^{\frac {2}{3}},{\sqrt {E}})\cdot \log {\frac {V^{2}}{E}}\log {U}\right)$
James B Orlin's + KRT (King, Rao, Tarjan)演算法	$O(VE)$	Orlin's algorithm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） solves max-flow in O(VE) time for $E\leq O(V^{{16 \over 15}-\epsilon })$ while KRT solves it in O(VE) for $E>V^{1+\epsilon }$.