統計學上, 最小變異數不偏估計(MVUE,minimum-variance unbiased estimator)是一個對於所有不偏估計中,擁有最小變異數的不偏估計。若無論真實母數值θ是多少,最小變異數不偏估計(MVUE)都比其他不偏估計有更小或至多相等的變異數,則稱此估計為一致最小變異數不偏估計(UMVUE,Uniformly Minimum-Variance Unbiased Estimator)。
若
為母數函數
的一個不偏估計,且對於母數函數
的任一不偏估計
恆有下列關係
,![{\displaystyle \mathrm {var} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))\leq \mathrm {var} ({\tilde {\delta }}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2bd432df467b6ef9d3bcb053ad9eecc8e258)
則稱
為母數函數
的一致最小變異數不偏估計(UMVUE)。
若母數函數
存在不偏估計,則可證明出一致最小變異數不偏估計存在且唯一。
一般地,設
是母數函數
的不偏估計且統計量
是分布族的完備充分統計量,則
![{\displaystyle \eta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\mathrm {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})|T)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5713c8caede6dd37b57191166a0e4fbe49163c)
是母數函數
的一致最小變異數不偏估計(UMVUE)。
參考資料
- Keener, Robert W. Statistical Theory: Notes for a Course in Theoretical Statistics. Springer. 2006: 47–48, 57–58.