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林德曼-魏爾斯特拉斯定理

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林德曼-魏爾斯特拉斯定理Lindemann–Weierstrass theorem)是一個可以用於證明實數的超越性的定理。它表明,如果 是代數數,在有理數 內是線性獨立的,那麼在  內是代數獨立的;也就是說,擴張域在  內具有超越次數n

一個等價的表述是:如果是不同的代數數,那麼指數在代數數範圍內是線性獨立的。

這個定理由林德曼魏爾斯特拉斯命名。林德曼在1882年證明了對於任何非零的代數數都是超越數,因此推出了圓周率是超越數。魏爾斯特拉斯在1885年證明了一個更一般的結果。

這個定理,以及格爾豐德-施奈德定理,可以推廣為Schanuel猜想

e和π的超越性

eπ的超越性是這個定理的直接推論。

假設是一個非零的代數數,那麼在有理數範圍內是線性獨立的集合,因此根據定理的第一種表述,是一個代數獨立的集合,也就是說,是超越數。特別地,是超越數

另外,利用定理的第二種表述,我們可以證明,如果是一個非零的代數數,那麼就是不同的代數數的集合,因此集合在代數數範圍內是線性獨立的,特別地,不能是代數數,因此一定是超越數。

現在,我們來證明是超越數。如果π是代數數,也是代數數(因為是代數數),那麼根據林德曼-魏爾斯特拉斯定理, (參見歐拉公式)也是超越數,這與1是代數數的事實矛盾。

把這個證明稍微改變以下,可以證明如果是一個非零的代數數,那麼和它們的雙曲函數也是超越數。

進數猜想

進數林德曼-魏爾斯特拉斯猜想,就是這個定理在p進數中也成立:假設素數進數,它們都是代數數,且在內線性獨立,使得對於所有的,都有。那麼p進指數內是代數獨立的。

參見

參考文獻

  • Baker, Alan, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 052139791X 

外部連結