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模的支撐

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在 交換代數 中, 一個交換環上的  支撐是一個集合,它包含所有 上的理想 [1],使得.  通常可以記為 . 由定義,支撐是 的子集。

性質

  • 若且唯若它的支撐是空集。
  • 是一個 模正合序列. 那麼

注意這裡的併集不一定是不相交的.

  • 如果 是子模  的和, 那麼

  • 如果 是一個有限生成 模,那麼 是的所有的包含 的消滅元所構成的素理想的集合. 特別的, 它在 的 Zariski拓撲結構 中是閉的.
  • 如果 都是有限生成 -模,那麼
  • 如果 是一個有限生成模並且  的理想,那麼  是包含  素理想的集合. 這也就是

.

准凝聚層的支撐

如果 概形 X上的一個 准凝聚層, 層的支撐是點集 xX 使得 stalk x 非零. 這個定義與空間 X上的 函數的支撐是一致的, 這就是我們使用"支撐"這個詞的動機. 模上層的支撐的大部分性質都可以一字一句地推廣到准凝聚層上來. 例如, 凝聚層 (更一般地, 一個有限型的層) 是空間 X的閉集. [2]


如果 是一個 -模, 那麼 作為模的支撐等價於 誘導的仿射概形 上的准凝聚層 的支撐. 另外, 如果 是概形 的一個仿射覆蓋, 那麼 作為層的支撐等價於每個 -模 作為模的支撐的併集[3].


由正合序列 對於一個在光滑射影簇 中的除子 D, 如果我們令開集 則有 , 這可以由線叢的定義得到, 並且注意到這裡 .

例子

由前面已知, 一個素理想 在模 的支撐里, 若且唯若它包含 的消滅元[4]. 來看一個例子

作為模的消滅元是理想 . 這意味著 也就是說它的支撐是多項式 的零點.

現在來看短正合序列 我們可以認為理想 的支撐等價於 也就是多項式零點的補集.

在specialization[來源請求]意義下, 模的支撐總是閉的.

現在, 如果我們在一個整環里取兩個多項式, 使得理想 是完全交, 那麼張量積的性質告訴我們

相關參考


參考文獻

  1. ^ EGA 0I, 1.7.1.
  2. ^ The Stacks Project authors. Stacks Project, Tag 01B4. 2017 [2018-12-20]. (原始內容存檔於2020-11-30). 
  3. ^ The Stacks Project authors. Stacks Project, Tag 01AS. 2017 [2018-12-22]. (原始內容存檔於2020-04-07). 
  4. ^ Eisenbud, David. Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry. corollary 2.7. : 67.