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次導數

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凸函數(藍)和x0處的「次切線」(紅)

次導數(英語:subderivative)、次微分(英語:subdifferential)、次切線(英語:subtangent lines)和次梯度(英語:subgradient)的概念出現在凸分析,也就是凸函數的研究中。要注意的是,次切線(subtangent lines)和次切距(subtangent)是不同的。

f:IR是一個實變量凸函數,定義在實數軸上的開區間內。這種函數不一定是處處可導的,例如絕對值函數f(x)=|x|。但是,從右面的圖中可以看出(也可以嚴格地證明),對於定義域中的任何x0,我們總可以作出一條直線,它通過點(x0, f(x0)),並且要麼接觸f的圖像,要麼在它的下方。這條直線的斜率稱為函數的次導數。

定義

凸函數f:IR在點x0的次導數,是實數c使得:

對於所有I內的x。我們可以證明,在點x0的次導數的集合是一個非空閉區間[a, b],其中ab單側極限

它們一定存在,且滿足ab

所有次導數的集合[a, b]稱為函數fx0的次微分。

例子

考慮凸函數f(x)=|x|。在原點的次微分是區間[−1, 1]。x0<0時,次微分是單元素集合{-1},而x0>0,則是單元素集合{1}。

性質

  • 凸函數f:IRx0可導,若且唯若次微分只由一個點組成,這個點就是函數在x0的導數。
  • x0是凸函數f最小值,若且唯若次微分中包含零,也就是說,在上面的圖中,我們可以作一條水平的「次切線」。這個性質是「可導函數在極小值的導數是零」的事實的推廣。

次梯度

次導數和次微分的概念可以推廣到多元函數。如果f:UR是一個實變量凸函數,定義在歐幾里得空間Rn內的凸集,則該空間內的向量v稱為函數在點x0的次梯度,如果對於所有U內的x,都有:

所有次梯度的集合稱為次微分,記為∂f(x0)。次微分總是非空的凸緊集

參見

參考文獻

  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.