歐幾里得幾何

歐幾里得幾何指按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學。

歐幾里得幾何有時就指二維平面上的幾何，即平面幾何，本文主要描述平面幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何，高維的情形請參看歐幾里得空間。

數學上，歐幾里得幾何是二維平面和三維空間中的幾何，基於點線面公設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry）。

公理描述

歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含ΑΒΓ等邊三角形的構成，是由Α和Β兩點，畫出圓Δ與圓Ε，並且交叉於第三點Γ上。

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的真命題。

歐幾里得平面幾何的五條公理（公設）是：

從一點向另一點可以引一條直線。
任意線段能無限延伸成一條直線。
給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
所有直角都相等。
若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：

“

通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

”

平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何）。

從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理（公設）並不完備。例如，該幾何中的定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。^{[來源請求]}因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理。

歐幾里得還提出了五個一般概念，也可以作為公理。當然，之後他還使用量的其他性質。