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牛奶凍函數的圖形
牛奶凍曲線(blancmange curve)又稱為高木曲線,因為在1901年由高木貞治所研究。另外也稱為 Takagi-Landsberg 曲線,一種更一般化的曲線,以高木貞治和 Georg Landsberg 的名字命名。 牛奶凍曲線也是 de Rham 曲線的特例。
定義
定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為
![{\displaystyle b(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f8f361d641744be238bf591e93cecc3f181f4a)
其中
是三角波函數,定義為
。
而 Takagi–Landsberg 曲線的定義是更一般化的:
![{\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3a981eba331c529f8ac0a589801f149b873ee9)
其中
是一個變數使
。
-
parameter w=2/3
-
parameter w=1/2
-
parameter w=1/3
-
parameter w=1/4
-
parameter w=1/8
性質
收斂與連續性
以
(
)為參數無限和
對所有
絕對收斂:因為對所有
有
,從而
。
以
為參數的
也是連續的。因為可以如下證明
均勻收斂到
:
對所有
。
其值在
夠大時可以任意的小。再根據均勻極限定理,
連續。
次可加性
具有次可加性。
拋物線
當
,
的圖形是拋物線,且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述。
可微性
對所有
,
在任意不是二進分數的
是可微的,且其結果是
![{\displaystyle T_{w}'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(-1)^{x_{-n-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a593832082622fb24b986222ffd5fbbc482d879)
其中
是
的二進位表達式的序列,也就是滿足
的序列。