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特徵函數 (機率論)

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The characteristic function of a uniform U(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however characteristic functions may generally be complex-valued.

機率論中,任何隨機變數特徵函數(縮寫:ch.f,複數形式:ch.f's)完全定義了它的機率分布。在直線上,它由以下公式給出,其中是任何具有該分布的隨機變數:

其中是一個實數虛數單位表示期望值

動差母函數來表示(如果它存在),特徵函數就是的動差母函數,或在虛數軸上求得的動差母函數。

與動差母函數不同,特徵函數總是存在。

如果累積分布函數,那麼特徵函數由黎曼-斯蒂爾傑斯積分給出:

機率密度函數存在的情況下,該公式就變為:

如果是一個向量值隨機變數,我們便取自變數為向量,數量積

上的每一個機率分布都有特徵函數,因為我們是在有限測度的空間上對一個有界函數進行積分,且對於每一個特徵函數都正好有一個機率分布。

一個對稱機率密度函數的特徵函數(也就是滿足)是實數,因為從所獲得的虛數部分與從所獲得的相互抵消。

性質

連續性

勒維連續定理說明,假設為一個隨機變數序列,其中每一個都有特徵函數,那麼它依分布收斂於某個隨機變數

如果

處連續,的特徵函數。

勒維連續定理可以用來證明弱大數法則

反演定理

在累積機率分布函數與特徵函數之間存在對射。也就是說,兩個不同的機率分布不能有相同的特徵函數。

給定一個特徵函數φ,可以用以下公式求得對應的累積機率分布函數

一般地,這是一個廣義積分;被積分的函數可能只是條件可積而不是勒貝格可積的,也就是說,它的絕對值的積分可能是無窮大。[1]

博赫納-辛欽定理/公理化定義

任意一個函數是對應於某個機率律的特徵函數,若且唯若滿足以下三個條件:

  1. 是連續的;
  2. 是一個正定函數(注意這是一個複雜的條件,與不等價)。

計算性質

特徵函數對於處理獨立隨機變數的函數特別有用。例如,如果、……、是一個獨立(不一定同分布)的隨機變數的序列,且

其中是常數,那麼的特徵函數為:

特別地,。這是因為:

注意我們需要的獨立性來確立第三和第四個表達式的相等性。

另外一個特殊情況,是為樣本平均值。在這個情況下,用表示平均值,我們便有:

特徵函數舉例

分布 特徵函數
退化分布  
伯努利分布  
二項分布  
負二項分布  
卜瓦松分布  
連續均勻分布  
拉普拉斯分布  
常態分布  
卡方分布 k  
柯西分布  
伽瑪分布  
指數分布  
多元常態分布  
多元柯西分布 [2]  

Oberhettinger (1973) 提供的特徵函數表.

特徵函數的應用

由於連續定理,特徵函數被用於中央極限定理的最常見的證明中。

動差

特徵函數還可以用來求出某個隨機變數的動差。只要第n個動差存在,特徵函數就可以微分n次,得到:

例如,假設具有標準柯西分布。那麼。它在處不可微,說明柯西分布沒有期望值。另外,注意到獨立的觀測的樣本平均值具有特徵函數,利用前一節的結果。這就是標準柯西分布的特徵函數;因此,樣本平均值與母體本身具有相同的分布。

特徵函數的對數是一個累積量母函數,它對於求出累積量是十分有用的;注意有時定義累積量母函數為動差母函數的對數,而把特徵函數的對數稱為第二累積量母函數。

一個例子

具有尺度母數和形狀母數k伽瑪分布的特徵函數為:

現在假設我們有:

其中相互獨立,我們想要知道的分布是什麼。特徵函數分別為:

根據獨立性和特徵函數的基本性質,可得:

這就是尺度母數為、形狀母數為的伽瑪分布的特徵函數,因此我們得出結論:

這個結果可以推廣到個獨立、具有相同尺度母數的伽瑪隨機變數:

多元特徵函數

如果是一個多元隨機變數,那麼它的特徵函數定義為:

這裡的點表示向量的點積,而向量位於對偶空間內。用更加常見的矩陣表示法,就是:

例子

如果是一個平均值為零的多元高斯隨機變數,那麼:

其中表示正定矩陣 Σ的行列式。

矩陣值隨機變數

如果是一個矩陣值隨機變數,那麼它的特徵函數為:

在這裡,函數,表示的矩陣乘積。由於矩陣XT一定有跡,因此矩陣X必須與矩陣T轉置的大小相同;因此,如果Xm × n矩陣,那麼T必須是n × m矩陣。

注意乘法的順序不重要()。

矩陣值隨機變數的例子包括威沙特分布矩陣常態分布

相關概念

相關概念有動差母函數機率母函數。特徵函數對於所有機率分布都存在,但動差母函數不是這樣。

特徵函數與傅立葉轉換有密切的關係:一個機率密度函數的特徵函數是連續傅立葉轉換共軛複數(按照通常的慣例)。

其中表示機率密度函數連續傅立葉轉換。類似地,從可以通過傅立葉逆轉換求出

確實,即使當隨機變數沒有密度時,特徵函數仍然可以視為對應於該隨機變數的測度的傅立葉轉換。

參考文獻

  1. ^ P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166
  2. ^ Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution
  • Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
  • Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science