複平面上的狄利克雷η函數
。用顏色來編碼點
的值
,強烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的輻角。
在數學的解析數論領域,狄利克雷η函數定義為:
![{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680661b488839174185ecc196b53266ce03fb87a)
其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函數也用常來定義黎曼ζ函數。
對實部為正數的複數s,也可定義為狄利克雷級數表達式形式:
![{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74234a6b3ceffe47a76211cecaf0f075eabefbd0)
表達式僅當實部為正數時收斂。對任意複數,該表達式是一個阿貝爾和,可定義為一個整函數,並由此可知ζ函數是一個極點在s = 1的單極點亞純函數。
等價定義為:
![{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0060abd23da186aaaf12f35137e8ea030887461a)
定義在複平面上實部為正的區域,該定義形式是一個Mellin變換。
G·H·哈代給出一個函數方程的簡單證明:
![{\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f76ff108c1005854f9a9c15027e24efe8feee4)
因此能將其擴展到整個複數域。
數值算法
大多數交錯級數的串行加速技術都可應用在η函數的求值上。一個特別簡單,合理的方法是應用交錯序列的歐拉變換,得到:
![{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b20d75dca8994f9d7d658a79b66842fc9d693f8)
注意第二個求和裡面是前向差分。
Borwein方法
彼得·波溫(Peter Borwein)使用包含切比雪夫多項式的近似值用來得到η函數的高效求值方法。
如果:
![{\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4551a435e227f73980f97b0bfc89af29f4669a3d)
則:
![{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f075f982f3bb459646181471ea82632067429fe7)
當
時,誤差項 γn範圍:
![{\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823b6db786053fa0e65502098953977762d3e220)
誤差分布中的係數
顯示Borwein級數隨著n的增加而很快集中於一點。
特殊值
- η(0) = 1⁄2, 格蘭迪級數( 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)的阿貝爾和。
- η(−1) = 1⁄4, 1-2+3-4+…的阿貝爾和。
- 對於大於1的整數k ,如果Bk是第k個伯努利數,那麼
![{\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c8e563a3fa8fe705adea30b2ded2a8db516528)
同樣的:
, 這是交錯調和級數
![{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0559bd26233f52e4c29a0a93ba6b49ea95d9ff)
![{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e182a4f1ed591a2ca7546bdac69f0f663d2dea0)
![{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1a2f84040d93bb8300734cb4829104e8953662)
![{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07234255b7c5c8d7751daf67015cb222fdc8155)
![{\displaystyle \eta (10)={{511\pi ^{10}} \over 6842880}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8185e316b4da51d69ec8abb83993c11e587ae3ac)
![{\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54cae1ad0823678558645a5b8ce8d6be3f13de16)
自變量為正偶數的函數生成式為:
參考資料
- Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Numbers, constants and computation (2003)
- Borwein, P., [1] (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.