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留數

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複分析中,留數是一個正比於一個亞純函數某一奇點周圍的路徑積分的複數。(更一般地,對於任何除去離散點集{ak}之外全純的函數都可以計算其留數,即便是離散點集中含有本質奇點)留數可以是很容易計算的,一旦知道了留數,就可以通過留數定理來計算更複雜的路徑積分。

定義

亞純函數孤立奇點的留數,通常記為,是使穿孔圓盤內具有解析原函數的唯一值

另外,留數也可以通過求出洛朗級數展開式來計算,並且可以將留數定義為洛朗級數的係數a-1。

留數的定義可以拓展到任意黎曼曲面上。

例子

作為例子,考慮以下的路徑積分

其中C是圍繞原點的任意(正向)簡單閉曲線

我們來計算這個積分,不用任何標準的積分定理。現在,ez泰勒級數是眾所周知的,我們可以把這個級數代入被積表達式中。則積分變為:

我們把1/z5的項代進級數中,便得到:

現在,積分便化為更簡單的形式。由於:

因此任何不是cz−1形式的項都變成了零,那麼積分變為:

1/4!就是ez/z5z = 0的留數,記為:

留數的計算

設複平面內有一穿孔圓盤D = {z : 0 < |zc| < R},f是定義在D內的一個全純函數fc的留數Res(f, c)是羅朗級數展開式的(zc)−1項的係數a−1。計算留數的值的方法有很多,具體採用那種方法取決於題目中的函數,以及奇點的性質。

根據柯西積分公式,我們有:

其中γ是逆時針繞著c的一條閉曲線。我們可以選擇γ為繞著c的一個圓,它的半徑可以任意地小。

可去奇點

如果函數f在整個圓盤{ |zc| < R }內可以延拓全純函數,則Res(f, c) = 0。反過來不總成立。

一階極點

在一階極點,留數由以下公式給出:

ghc的一個鄰域內是全純函數,h(c) = 0而g(c) ≠ 0,那麼函數f(z)=g(z)/h(z)在極點c的留數為:

較高階極點的極限公式

更一般地,fz = c的留數,其中cn階極點,由以下公式給出:

以上的公式對於計算低階極點的留數是十分有用的。對於較高階的極點,則級數展開式更加容易一些。

無窮遠點的留數

一般地,無窮遠點的留數是指:

.

如果滿足下面的條件:

,

則可以用下面的公式計算無窮遠點的留數

.

如果不滿足,即

,

無窮遠點的留數為:

.

級數方法

如果函數的一部分或全部可以展開為泰勒級數洛朗級數,則留數的計算比用其它的方法要容易得多。

1. 第一個例子,計算以下函數在奇點的留數:

它可以用來計算一定的路徑積分。這個函數表面上在z = 0處具有奇點,但如果把分母因式分解,而把函數寫成:

則顯然z = 0是可去奇點,因此z = 0處的留數為零。

唯一一個另外的奇點是z = 1。函數g(z)在z = a的泰勒級數為:

因此,對於g(z) = sin za = 1,我們有:

對於g(z) = 1/za = 1,我們有:

把兩個級數相乘,並除以(z − 1),便得:

因此f(z)在z = 1的留數為sin 1。

2. 接下來的例子展示了運用級數展開來求留數,拉格朗日反演定理在這裡發揮了重要作用。令

為一個整函數,並令

參見

參考文獻

外部連結