空間直線及其方程

空間直線及其方程

空間直線的一般方程

定義：若平面{$\Pi _{1}:{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$}與平面{$\Pi _{2}:{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$}相交於直線$l$，則直線$l$的一般方程為：

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\\\end{cases}}$

空間直線的參數方程與對稱式方程（點向式方程）

已知直線上一點$M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$和它的方向向量s=(m,n,p)，設直線上的動點為M(x,y,z)則向量$MM_{0}//s$

所以兩向量的對應坐標成比例，從而有這條直線的方程為：${x-x_{0} \over {m}}={y-y_{0} \over {n}}={z-z_{0} \over {p}}$

參數方程為${\begin{cases}x=x_{0}+mt\\y=y_{0}+nt\\z=z_{0}+pt\end{cases}}$

說明：在點向式方程中，某些分母為零時，其分子也理解為零。如當m=n=0，p≠0時直線方程為${\begin{cases}x=x_{0}\\y=y_{0}\\z=z_{0}+pt\end{cases}}$

兩直線的夾角

若兩直線的方向向量分別為 ${\vec {a}}$ 與 ${\vec {b}}$，則它們的夾角為 $\arccos {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}$

直線與平面的夾角

若直線的方向向量為 ${\vec {a}}$，平面的法向量為 ${\vec {b}}$，則直線與平面的夾角為$\arcsin {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}$

平面束

(平面束)