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算子範數

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算子範數數學泛函分析里的概念。算子範數衡量的是線性映射線性算子的「大小」,通常指的是兩個賦范向量空間之間的有界線性映射所構成的空間的範數。

簡介與定義

給定兩個賦范向量空間EF,假定它們的係數域相同(一般是實數複數)。從EF的一個線性映射A是連續的若且唯若存在常數c > 0使得:

其中的分別是空間EF上裝備的範數。這個定義說明,連續線性映射將一個E裡面的向量映射到F中時,其「長度」的改變不會超過c倍。常數c是對線性映射A的「效果」的一個上界估計。所以,有界的集合經過連續映射後的像仍然會是有界集合。因為這一點,連續線性映射也被稱作有界算子。而為了「精確計算」線性映射的「大小」,會引進算子範數的定義。有界線性算子的範數是能夠作為上界估計的c所有常數中「最小」的一個:

其中的下確界。由於實數集合是有下界的閉集,定義中的下確界可以改成「最小元素」:

FE的係數域時,從EF的連續線性映射被稱為連續線性泛函。連續線性泛函構成的空間被稱為從E對偶空間,而連續線性泛函的算子範數被稱為對偶範數。對偶空間在對偶範數下是一個巴拿赫空間

例子

考慮兩個裝備了正則歐幾里德範數的歐幾里德空間:,其中都是正整數。從映射到的有界線性算子(線性映射)都可以用矩陣來表示。所以這些算子構成的空間實際上是矩陣空間:,而對應的算子範數也稱為矩陣範數。假設某個線性映射對應的矩陣是,那麼它的矩陣範數是的最大特徵值平方根,或者說是的最大的奇異值

對於無限維的賦范空間,常見的例子有平方可加序列空間。其定義為:

給定一個有界數列,考慮從到自身的線性算子

由於是有界序列,其範數,所以是連續線性算子(有界算子)。而的算子範數:

類似的例子還有空間之間的映射。例如考慮平方可積函數的空間,設有從映射到的線性算子

其中f 為給定的有界函數。則是連續線性算子,其算子範數為:

等價定義

線性算子A的算子範數除了定義為

以外,還可以用以下等價的方式定義[1]:97

  1. A的算子範數是A在單位閉球上取值的上確界:
  2. A的算子範數是A在單位開球上取值的上確界:
  3. A的算子範數是A在單位球面上取值的上確界:
  4. A的算子範數是AE中非零元素上取值和元素範數之比的上確界:

性質

算子範數是所有從EF的有界線性算子構成的空間上的範數,因此滿足範數的基本性質:

  • 正定性:,並且若且唯若
  • 線性性:
  • 次可加性:[1]:98

此外,由算子範數的定義可推出以下不等式:

[1]:97

有界算子複合後的算子範數仍然存在。假設有從EF的有界線性算子A以及從FG的有界線性算子B,那麼複合算子BA也是從EG的有界線性算子,其算子範數滿足不等式:

[1]:98

例如當AE到自身的有界線性算子時,有:

如果F完備空間,那麼從EF的有界線性算子構成的空間,在裝備了算子範數下是完備的空間。[1]:98

參見

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin 著 Leo F. Boron 譯. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume I: Metric and Normed Spaces. New York: Ghaylock Press. 1957 (英語).