米迪定理
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米迪定理說明如果將化為b進位小數(其中p為質數,a是小於p的正整數),且小數的循環節長度是偶數[注 1],則有以下性質:
- 若將這個分數用循環小數寫成,則
這個定理還可再推廣為廣義米迪定理:若把長度2n的循環節劃分為長度為k的個組,即,則是的倍數。
例
- (10進位)
循環節長度是16,是偶數,可應用米迪定理。
- 0+9=10-1,5+4=10-1,8+1=10-1……
- (10進位)
循環節長度是18,是偶數,可應用米迪定理。
- 0+9=10-1,5+4=10-1,2+7=10-1……
- (廣義米迪定理,k=6)
- (廣義米迪定理,k=3)
定理的證明
米迪定理可以用群論中的結果來證明。然而,也可以用算術和同餘來證明米迪定理:
設p為質數,a/p是0與1之間的分數。假設在b進位中,a/p的展開式的週期為l,所以:
其中N是在b進位中的展開式為a1a2...al的整數。
因為且N為整數,所以必為p的倍數。另外,對於任何小於l的n,bn−1都不是p的倍數,否則在b進位中a/p的週期將小於l,這是不可能的。
現在,假設l=hk。那麼bl−1是bk − 1的倍數。設bl − 1 = m(bk − 1),因此:
但bl−1是p的倍數;bk−1不是p的倍數(因為k小於l);且p是質數;因此m一定是p的倍數,且
是整數。也就是說:
現在,把a1a2...al分成h個長度為k的部分,並設它們在b進位中表示N0...Nh − 1,所以:
為了證明b進位中廣義的米迪定理,我們必須證明h個整數Ni的和是bk − 1的倍數。
由於bk被bk−1除餘1,任何bk的冪被bk − 1除也餘1。因此:
這就證明了b進位中廣義的米迪定理。
為了證明原先的米迪定理,取h = 2的特殊情況。注意N0和N1在b進位中都由k個數字表示,所以都滿足
N0和N1不能都等於0(否則a/p = 0),也不能都等於bk − 1(否則a/p = 1),因此:
由於N0 + N1是bk − 1的倍數,所以有:
參考資料
- ^ 有些質數的循環節長度是奇數,如3、31。
William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. (原始內容存檔於2018-07-23).
外部連結
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