耿貝爾分布
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在機率論和統計學中,耿貝爾分布(Gumbel分布,也稱為I 型廣義極值分布)用於對各種分布的多個樣本的最大值(或最小值)的分布進行建模。
如果有過去十年的水位最大值列表,則此分布可用於表示特定年份河流最高水位的分布。它有助於預測發生極端地震、洪水或其他自然災害的可能性。 耿貝爾分布表示最大值分布的潛在適用性與極值理論有關,這表明如果基礎樣本數據的分布是正態或指數類型,它可能是有用的。本文使用耿貝爾分布對最大值的分布進行建模。要對最小值建模,請使用原始值的負值。
耿貝爾分布是廣義極值分布(也稱為 Fisher-Tippett 分布)的一個特例。它也稱為對數Weibull 分布和雙指數分布(該術語有時也用於指代拉普拉斯分布)。它與Gompertz分布有關:在原點附近,並限制在正半線上時,就得到了 Gompertz 函數。
在多項式logistic回歸模型的潛變量公式中——在離散選擇法理論中很常見——潛在變量的誤差服從 Gumbel 分布。這很有用,因為兩個耿貝爾分布的隨機變量的差服從logistic分布。
耿貝爾分布以Emil Julius Gumbel (1891 – 1966) 的名字命名,來自描述該分布的原始論文。 [1] [2]
定義
耿貝爾分布的累積分布函數為
標準耿貝爾分布
標準的耿貝爾分布是和時的特例,其累積分布函數為
機率密度函數為
此時,眾數為 0,中位數為,均值為 ( 歐拉-馬斯刻若尼常數),標準差為。
對於 n>1,累積量由下式給出
特性
眾數為 μ,中位數為,平均值是
- ,
其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。
標準差 是,因此 [3]
在眾數處,,的值變為 ,與的取值無關。
相關分布
- 如果具有耿貝爾分布,則Y= − X的條件分布在Y為正的情況下,或等效地在X為負的情況下具有Gompertz分布。 Y的 cdf G與X的 cdf F相關,公式如下要求y > 0。因此,兩者機率密度函數相關: : Gompertz 密度與反射的 Gumbel 密度成正比,僅限於正半線。 [4]
- 如果X是均值為 1 的指數分布變量,則− log( X ) 服從標準 Gumbel 分布。
- 如果和是獨立的,那麼 (見Logistic分布)。
- 如果是獨立的,那麼 。注意 。更一般地,獨立 Gumbel 隨機變量的線性組合的分布可以用 GNIG 和 GIG 分布來近似。 [5]
與廣義多變量對數伽馬分布相關的理論提供了耿貝爾分布的多變量版本。
應用
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/FitGumbelDistr.tif/lossless-page1-320px-FitGumbelDistr.tif.png)
Gumbel 表明,隨著樣本量的增加,將服從指數分布的隨機變量減去樣本量[7]的自然對數,其最大值的分布(或最後一階統計量)接近耿貝爾分布。 [8]
具體來說,如果令是的機率分布,是其累積分布,那麼對的次實現(realizations)的最大值小於若且唯若所有的實現都小於 。所以最大值的累積分布滿足:
並且,對於較大的,等式右邊收斂到。
因此,在水文學中,耿貝爾分布用於分析日降雨量和河流流量的月度和年度最大值等變量, [3]也用於描述乾旱。 [9]
Gumbel 還表明,表示事件的機率的估計量r⁄(n+1)——其中r是觀察值在數據序列中的排名, n是觀察的總數——是分布的眾數周圍的累積分布函數的無偏估計量。因此,這個估計量經常被用作分位圖。
在數論中,耿貝爾分布近似於隨機整數分拆的項數[10]以及最大素數間隙和素數星座之間的最大間隙的趨勢調整大小。 [11]
Gumbel 重母數化技巧
在機器學習中,耿貝爾分布有時用於從分類分布中生成樣本。這種技術稱為「Gumbel-max技巧」,是「重母數化技巧」的一個特例。 [12]
具體而言,令非負且不全為零,並且讓是Gumbel(0, 1)的獨立樣本,則因此,
等價地,給定任何 ,我們可以從它的玻爾茲曼分布中採樣:相關等式包括: [13]
- 如果 , 那麼 。
- 。
- 。也就是說,Gumbel 分布是一個最大穩定分布族。
- 。
隨機變量生成
耿貝爾分布的分位數函數(逆累積分布函數) 可由下式給出
其中和是母數,當隨機變量是從 上的均勻分布中抽取時,變量具有服從耿貝爾分布。
機率紙
在軟體時代之前,人們使用機率紙描繪耿貝爾分布(見插圖)。這種紙基於累積分布函數的的線性化:
在紙上,水平軸以雙對數刻度構建。垂直軸是線性的。通過在紙張的水平軸上尋找,在垂直軸上尋找 ,耿貝爾分布由斜率為 的直線表示。當像CumFreq這樣的分布擬合軟體可用時,繪製分布的任務變得更加容易。
參見
參考資料
- ^ Gumbel, E.J., Les valeurs extrêmes des distributions statistiques (PDF), Annales de l'Institut Henri Poincaré, 1935, 5 (2): 115–158 [2023-01-21], (原始內容存檔 (PDF)於2018-03-10)
- ^ Gumbel E.J. (1941). "The return period of flood flows". The Annals of Mathematical Statistics, 12, 163–190.
- ^ 3.0 3.1 Oosterbaan, R.J. http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf
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缺少標題 (幫助) (PDF). Ritzema, H.P. (編). Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). 1994: 175–224. ISBN 90-70754-33-9. - ^ Willemse, W.J.; Kaas, R. Rational reconstruction of frailty-based mortality models by a generalisation of Gompertz' law of mortality (PDF). Insurance: Mathematics and Economics. 2007, 40 (3): 468 [2023-01-21]. doi:10.1016/j.insmatheco.2006.07.003. (原始內容 (PDF)存檔於2017-08-09).
- ^ Marques, F.; Coelho, C.; de Carvalho, M. On the distribution of linear combinations of independent Gumbel random variables (PDF). Statistics and Computing. 2015, 25: 683‒701 [2023-01-21]. doi:10.1007/s11222-014-9453-5. (原始內容存檔 (PDF)於2022-12-20).
- ^ CumFreq, software for probability distribution fitting
- ^ user49229, Gumbel distribution and exponential distribution. [2023-01-21]. (原始內容存檔於2021-08-26).
- ^ Gumbel, E.J. Statistical theory of extreme values and some practical applications. Applied Mathematics Series 33 1st. U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards. 1954 [2023-01-21]. ASIN B0007DSHG4. (原始內容存檔於2023-01-21).
- ^ Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future. Journal of Hydrology. 2010, 388 (1–2): 131–143. Bibcode:2010JHyd..388..131B. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.
- ^ Erdös, Paul; Lehner, Joseph. The distribution of the number of summands in the partitions of a positive integer. Duke Mathematical Journal. 1941, 8 (2): 335. doi:10.1215/S0012-7094-41-00826-8.
- ^ Kourbatov, A. Maximal gaps between prime k-tuples: a statistical approach. Journal of Integer Sequences. 2013, 16. Bibcode:2013arXiv1301.2242K. arXiv:1301.2242
. Article 13.5.2.
- ^ Jang, Eric; Gu, Shixiang; Poole, Ben. Categorical Reparametrization with Gumble-Softmax. International Conference on Learning Representations (ICLR) 2017. April 2017 [2023-01-21]. (原始內容存檔於2023-01-21).
- ^ Balog, Matej; Tripuraneni, Nilesh; Ghahramani, Zoubin; Weller, Adrian. Lost Relatives of the Gumbel Trick. International Conference on Machine Learning (PMLR). 2017-07-17: 371–379 [2023-01-21]. (原始內容存檔於2023-01-21) (英語).