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譜 (泛函分析)

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數學中,特別是在泛函分析中,有界算子矩陣特徵值集合的推廣。具體來說,對於有界線性算子T,如果TI可逆,其中I恆等算子,則複數λ會被認為屬於T的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論,其具有許多應用,最值得注意的是量子力學數學表述

有限維向量空間上的算子的譜就是特徵值的集合。然而,無限維空間上的算子在譜中可能有其他元素,並且可能沒有特徵值。例如,考慮希爾伯特空間2上的右移算子R

該算子沒有特徵值,因為如果Rxx,則通過展開表達式可以得到x1=0,x2=0……另一方面,0在譜中,因為算子R-0(即R自身)不可逆:因為第一項非零的任意向量不在它的值域中,所以它不是滿射。事實上,巴拿赫空間上的每個有界線性算子都必有非空譜。

譜的概念可以擴展到稠定無界算子。在這種情況下,複數λ被認為是在算子T:DX(其中DX中稠密)的譜中,如果沒有有界逆(λI-T)−1:XD。如果T是閉算子(包括T是有界算子的情形),逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空間X上的有界線性算子B(X)是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外,譜的定義沒有涉及B(X)的任何性質,所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。

有界算子的譜

定義

作用在巴拿赫空間上的是純量域上的有界線性算子,且上的恆等算子是所有使得算子沒有有界線性逆的的集合。

由於是一個線性算子,所以如果它的逆存在,則一定是線性的;並且,通過有界逆定理可知,它的逆是有界的。 因此,譜正好由那些使得不是雙射的純量組成。

給定算子的譜通常記為,而它的補集,也即預解集,記為

譜和特徵值

如果的特徵值,則算子不是一一映射,因此其逆沒有定義。但否命題是不對的:即使不是特徵值,算子可能也沒有逆。因此,算子的譜總是包含其所有特徵值,但卻不限於此。

例如考慮希爾伯特空間,它由所有雙向無限實數序列

構成,這些序列須滿足平方和有限。雙向移位算子簡單地將序列的每個元素移動一個位置;即如果則對所有整數。特徵值方程在該空間中無解,因為如果有解則意味著所有擁有相同的絕對值(如果 )或者是等比數列(如果 );無論哪種情形,它們的平方和都不可能有限。然而,算子時不可逆。例如滿足的序列屬於 ;但是不存在中的序列使得(即對所有)。

基本性質

有界算子T的譜總是複平面非空有界子集。

如果譜是空的,那麼預解函數

在複雜平面上處處有定義且有界。但可以證明,預解函數R在其定義域是全純的。通過向量值情形的劉維爾定理可知這個函數是常數。因為它在無窮遠處為零,所以恆為零。產生矛盾。

譜的有界性由關於λ諾伊曼級數展開得出;頻譜σ(T)有界||T||。類似的,可以證出譜是閉集。

譜的界||T||可以稍作改進。T譜半徑r(T)是複平面上最小的包含譜σ(T)以原點為圓心的圓的半徑,即

譜半徑公式指出,[1]對於巴拿赫代數的任何元素T

算子譜點分類

巴拿赫空間上的有界算子T可逆(即有有界逆),若且唯若T有正下界且值域稠密。 因此,T的譜可以分為以下部分:

  1. 如果λI-T沒有正下界,則λ∈σ(T)。特别地,这包含λI-T不是單射即λ是特徵值的情形。特徵值集合被稱為T點譜,記為σp(T)。 另一情形,λI-T是一一映射但沒有正下界。这样的λ不是特徵值,而是T的近似特徵值(特徵值本身也是近似特徵值)。近似特徵值集合(包含點譜)被稱為T近似點譜,記為σap(T)。
  2. 如果λI-T值域不稠密,則λ∈σ(T)。这样的λ的集合被稱為壓縮譜,記為σcp(T)。它的子集,使得λI-T值域不稠密但是單射的λ的集合,被稱為T剩餘譜,記為σr(T)。

注意到近似點譜和剩餘譜不一定不相交(但點譜和剩餘譜不相交)。

以下小節提供了關於上述σ(T)分類的更多細節。

點譜

如果一個算子不是單射(因此有某個非零的x滿足T(x)=0),那它顯然是不可逆的。 因此,如果λ是T特徵值,則必有λ∈σ(T)。T的特徵值集合被稱為T點譜,記為σp(T)。

近似點譜

更一般地,T如果沒有正下界,則不可逆; 也就是說,不存在c>0滿足||Tx||≥c||x||對所有 xX 。因此,譜包括近似特徵值集合,即使得 TI  沒有正下界的λ; 等價地,它是滿足如下條件的λ的集合,存在單位向量x1, x2, ...使得

近似特徵值集合被稱為近似點譜,記為σap(T)

容易看出特徵值屬於近似點譜。

例子 考慮l2(Z)上雙向移位算子T定義如下

其中ˆ表示第零個位置。直接計算可知T沒有特徵值,但滿足|λ|=1的每個λ都是近似特徵值;令xn表示向量

則對所有n有||xn||=1,但

由於T是酉算子,所以它的譜位於單位圓上。 因此T的近似點譜是其整個譜。 這對於更一般的一類算子也是正確的。

酉算子是正規的。由譜定理可知,希爾伯特空間H上的有界算子是正規的,若且唯若其等價於(將H等價為L^2空間)乘法算子。 可以證出,有界乘法算子的譜與它的近似點譜相等。

剩餘譜

算子可以是單射甚至有正下界,但不可逆。l 2(N)上的單向移位算子就是一例。這個移位算子是一個等距同構,因此下界為1。但是它不可逆,因為它不是滿射。滿足λI-T是單射但值域不稠密的λ的集合被稱為剩餘譜,記為σr(T)

連續譜

滿足λI-T是單射且值域稠密但不是滿射的λ的集合,被稱為T連續譜,記為σc(T)。 因此,連續譜由那些不是特徵值且不在剩餘譜中的近似特徵值構成。即

邊緣譜

算子的邊緣譜是其譜中模等於其譜半徑的點的集合。

例子

氫原子提供了這種分解的例子。氫原子哈密頓算子的特徵函數被稱為本徵態,並被分為兩類。 氫原子的束縛態對應於譜的離散部分(它們具有離散的特徵值集合,可由里德伯公式計算得到),而電離過程的最終結果由連續部分描述(碰撞/電離的能量不是「量子化的」)。

進一步結果

如果T是一個緊算子,則可以證明譜中任意非零λ是特徵值。 換句話說,這種算子的譜,被定義為特徵值概念的推廣,在這種情形下僅包括通常的特徵值和0(可能有)。

如果X希爾伯特空間T正規算子,則有被稱為譜定理的顯著結果,給出了正規有限維算子的對角化定理的類比(例如埃爾米特矩陣)。

無界算子的譜

可以推廣譜的定義用於巴拿赫空間X上的無界算子,這些算子不再是巴拿赫代數B(X)中的元素。 推廣類似於有界情形。 複數λ被稱為在預解集中,即線性算子T

的譜的補集,如果算子

有有界逆,即如果存在有界算子

使得

如果該性質不滿足,則複數λ在中。 可以以與有界情形完全相同的方式來對譜進行分類。

無界算子的譜通常是複平面的閉子集,可能為空集。

對於預解集中的λ(即不在譜中),與有界情形相同,λI-T 必須是雙射,因為它必須有雙邊逆。 如前所述,如果逆存在,則其線性直接可得,但一般來說,它可能無界,因此必須單獨檢驗該條件。

然而如果引入了T閉算子的附加假設,由閉圖像定理可知,逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此,與有界情情形相同,複數λ位於閉算子T的譜中,若且唯若λI-T不是雙射。 注意到閉算子包括所有有界算子。

通過其譜測度,可以定義任何自伴算子的譜分解,有界或其他類型分解為絕對連續、純點和奇異部分。

有單位的巴拿赫代數的譜

B為包含單位e的復巴拿赫代數。我們定義B的元素x的譜σ(x)(或更明確地σB(x))為使λe-xB中不可逆的那些複數λ的集合。這推廣了巴拿赫空間X上有界線性算子B(X)的譜的定義,因為B(X)是一個巴拿赫代數。

參見

參考文獻

  1. ^ Theorem 3.3.3 of Kadison & Ringrose, 1983, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol.