赫爾德不等式是數學分析的一條不等式,取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式:
設
為測度空間,
,及
,設
在
內,
在
內。則
在
內,且有
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff176cbeeb74b87a5c2017b5fef1520c094e7b3e)
等號若且唯若
與
(幾乎處處)線性相依時取得,即有常數
使得
對幾乎所有
成立。
若
取作
附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(或複數)
,有
。
我們稱p和q互為赫爾德共軛。
若取
為自然數集附計數測度,便得與上類似的無窮級數不等式。
當
,便得到柯西-施瓦茨不等式。
赫爾德不等式可以證明
空間上一般化的三角不等式,閔可夫斯基不等式,和證明
空間是
空間的對偶。
備註
- 如果1 ≤ p,q < ∞,那麼||f ||p和||g||q表示(可能無窮的)表達式:
以及 ![{\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9ba00b01d2bb3d6225e9f3b493fddc7f25b9e84)
- 如果p = ∞,那麼||f ||∞表示|f |的本性上確界,||g||∞也類似。
- 在赫爾德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。把a > 0乘以∞,則得出 ∞。
證明
赫爾德不等式有許多證明,主要的想法是楊氏不等式。
如果||f ||p = 0,那麼f μ-幾乎處處為零,且乘積fg μ-幾乎處處為零,因此赫爾德不等式的左端為零。如果||g||q = 0也是這樣。因此,我們可以假設||f ||p > 0且||g||q > 0。
如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那麼不等式的右端為無窮大。因此,我們可以假設||f ||p和||g||q位於(0,∞)內。
如果p = ∞且q = 1,那麼幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於p = 1和q = ∞,情況也類似。因此,我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。
分別用f和g除||f ||p||g||q,我們可以假設:
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d1409a992773d324107bc1d64ef33bfc54c0e9)
我們現在使用楊氏不等式:
![{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bc5a6d7e3154cea4c1f3e052ecf5530dfca962)
對於所有非負的a和b,若且唯若ap = bq時等式成立。因此:
![{\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dac616fdd42f9862d9f02038d04d7c79fa2cb3)
兩邊積分,得:
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262fd5646498202baa77ef596a48f2e93b2e212)
這便證明了赫爾德不等式。
在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設下,等式成立若且唯若幾乎處處有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位於(0,∞)內,那麼赫爾德不等式變為等式,若且唯若存在α, β > 0(即α = ||g||q且β = ||f ||p),使得:
μ-幾乎處處 (*)
||f ||p = 0的情況對應於(*)中的β = 0。||g||q =0 的情況對應於(*)中的α = 0。
反向赫爾德不等式
當
時,
不再滿足三角不等式,此時成立反向赫爾德不等式(Reverse Hölder inequality):
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439672f16157d365b0140208c88a206a7f4353b0)
參考文獻
- Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809
- Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
- Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150
- Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], (原始內容存檔 (PDF)於2008-08-07)
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