在哈密頓力學裏，因為哈密頓方程式對於廣義坐標 
與廣義動量 
的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示：
，
；
這裏， 
是哈密頓量。
辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫爾曼·外爾提出的[1]。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏或編結的意思；用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。
設定一個 
的豎矩陣 
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc930f57e8a8aa9cd6743eac48357aec69039cc8)
；
此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量、
代表轉置運算。我們也可以將 視為一個向量。
定義辛矩陣 
為一個斜對稱的 
方塊矩陣：
；
這裏， 是由 4 個 
零矩陣
與單位矩陣
組成。
這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
。
正則變換
正則變換是一種正則坐標的改變，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。所以，使用正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 改變成新正則坐標 
， 
；哈密頓量也從舊的哈密頓量 改變成新的哈密頓量 
，
；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
。
帕松括號
在相空間中，用正則座標 
，兩個函數
的卜瓦松括號記作:
![{\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfc1ceb41877dc8e627931d2fd9af29d6319ea5)
。
用辛標記，
![{\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ebc9b3bf7e19e7e1b632d3c68f1802a2ca67de)
。
參閱
參考文獻
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 343. ISBN 0201657023 （英語）.
