在數學中,尤其是動力系統與幾何拓撲中,流形M上的阿諾索夫映射(Anosov map)是M到自身的一種映射。阿諾索夫系統是A公理系統的特例。
阿諾索夫微分同胚(Anosov diffeomorphism)由德米特里·維克托羅維奇·阿諾索夫引入,他證明了這種微分同胚的行為在某種意義上是普遍的。
概述
有三個相互聯繫但又有區別的定義:
- 若M上的可微映射f在切叢上有雙曲結構,則稱f是一個阿諾索夫映射。例子有伯努利映射,以及阿諾爾德貓映射。
- 若這個映射還是一個微分同胚,則稱為阿諾索夫微分同胚。
- 若流形上的一個流把切叢分成三個不變子叢,其中一個子叢呈指數衰減,一個指數增大,第三個不增大也不減小,則這個流稱為阿諾索夫流。
阿諾索夫證明了阿諾索夫微分同胚是結構穩定的,並且組成了全體映射(流)的開子集(
拓撲)。
並非每個流形上都可以有阿諾索夫微分同胚;例如,球面上就沒有這樣的微分同胚。容許有阿諾索夫微分同胚的最簡單的緊流形是環面:上面有所謂的線性阿諾索夫微分同胚,這是沒有模1特徵值的同構。可以證明環面上其他的阿諾索夫微分同胚都與這種同胚拓撲共軛。
對容許有阿諾索夫微分同胚的流形進行分類是非常困難的問題,截至2012年仍然沒有解決。
另外,也不清楚是否每個
且保持體積的阿諾索夫微分同胚都是遍歷的。阿諾索夫證明了把
換成
的條件下是成立的。
黎曼曲面(的切叢)上的阿諾索夫流
負曲率黎曼曲面的切叢上的阿諾索夫流。這個流可以理解為雙曲幾何的龐加萊半平面模型的切叢上的流。負曲率黎曼曲面可以用福克斯模型來定義,即上半平面與福克斯群的商。設
為上半平面,
為福克斯群,
為負曲率黎曼曲面,
為流形M上的單位向量的切叢,
是
的單位向量的切叢。注意曲面上單位向量的叢是復直線叢的主叢。
李向量場
注意
同構於李群
。這個群是上半平面的保向等距同構組成的群。
的李代數是
,由以下矩陣表示
指數映射
定義了流形
上的右不變流,而
與此類似。定義
,這些流定義了P和Q上的向量場。
阿諾索夫流
是P和Q上的測地流。根據定義李向量場在群元素的作用下是左不變的,可以得到這些場在
下是左不變的。換句話說,空間
和
分成了三個一維空間,或子叢,每一個都在測地流作用下不變。最後注意到其中一個子叢的向量場呈指數擴大,另一個不變,第三個呈指數縮小。
精確地說,切叢
可以寫成直和
這些空間在測地流的作用下不變;即,在群元素
的作用下不變。
要比較不同點q處
的向量的長度,需要有度量。
上的任何內積都可擴張成P上的左不變黎曼度量,進而得到Q上的黎曼度量。向量
的長度在
的作用下指數增大。向量
的長度在
的作用下指數衰減。
中的向量不變。測地流是不變的
但另外兩個分別是衰減和增大的:
其中
中的切向量由曲線
在
處的導數給出。
阿諾索夫流的幾何解釋
當作用在上半平面的點
時,
對應了上半平面的一條過點
的測地線。這個作用就是
在上半平面的標準莫比烏斯變換,所以
一般的測地線
式中
是實數,且
。曲線
與
稱為極限圓。極限圓對應於極限球面的法向量在上半平面的運動。
另見
參考資料
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
- This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
- Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.