1-形式

在線性代數中，1-形式（one-form）是向量空間上的一種線性泛函。1-形式在這種向量空間語境中的使用方式，通常區別於高階的多重線性泛函中的1-形式。細節參見線性泛函。

在微分幾何中，可微流形上的1-形式是餘切叢的一個光滑截面。具體說來，流形 M 上的1-形式是M 的切叢的全空間到 R 的一個光滑映射，限制在每個纖維上是切空間上的線性泛函。用符號表示，

\alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,

這裡 α_x 是線性的。

1-形式經常局部地描述，特別是在一個局部坐標中。在一個局部坐標系中，1-形式是坐標的微分的線性組合：

\alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,

這裡 f_i 是光滑函數。注意這裡使用上指標，不要與冪混淆。從這種觀點來看，一個 1-形式從一個坐標系變到另一個時有共變變換法則。從而一個 1-形式是秩 1 共變張量場。

特例

設 $U\subseteq \mathbb {R}$ 爲一開集（譬如一個區間 $(a,b)$ ），考慮可微函數 $f:U\to \mathbb {R}$ ，具有導數 f'。f 的微分 df，在一點 $x_{0}\in U$ ，定義為變量 dx 的某個線性映射。具體地， $df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx$ 。（從而符號 dx 的含義揭示出來了：它不過是 df 的一個參數，或獨立變量。）故映射 $x\mapsto df(x,\cdot )$ 將每個點 x 送到一個線性泛函 $df(x,\cdot )$ 。這是微分（1-）形式最簡單的例子。