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CW複形

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CW複形,又稱胞腔複形,在拓撲學上屬於拓撲空間之一類,由J.H.C.懷特海德引入,用於同倫理論。其思想是構造一類空間,比單體複形更為廣泛(我們現在可以說,有更好的範疇論屬性);但還要保留組合的本質,因此計算方面的考慮沒有被忽略。

形式表述

粗略地說,CW複形由稱作胞腔的基本元件組成。其精確定義規定胞腔如何在拓撲意義上「粘合」。CW複形名稱中的「C」代表「閉有限」(closure-finite),而「W」則代表「弱拓撲」(weak topology)。

單個 維閉胞腔是指 閉球貼映射下的像。例如,每個單體都是一個閉胞腔,或更一般地,每個凸多面體都是一個閉胞腔。單個 維開胞腔則是一個同胚開球的拓撲空間。零維的開(或閉)胞腔是指一個單元素空間。而「閉有限」條件要求每個閉胞腔都可由有限個開胞腔所覆蓋

CW複形是一個郝斯多夫空間 ,連同一個將 劃為開胞腔(維度不必統一)的劃分,並滿足以下性質:

  • 的劃分中的任意一個 維開胞腔 ,存在一個從 維閉球到 連續映射 ,使得:
    • 限制在閉球的內部上是到胞腔 的同胚,且
    • 閉球的邊界在 下的像包含於 的劃分中的有限個維度小於 的元素的聯集內。
  • 的閉子集即是與每一個開胞腔交於閉集(相對於開胞腔本身的拓撲)的集合( 的拓撲為所有開胞腔的並的弱拓撲)。

相對CW複形

籠統地說,相對CW複形與CW複形的區別在於它容許一個額外的、不須帶有任何胞腔結構的組件。遵照上文的定義,這個組件被視作負一維胞腔。[1][2][3]

CW複形的歸納法定義

如果一個CW複形中胞腔的維度最大為 ,那麼我們稱這個CW複形是 維的。若胞腔的維度沒有上限,那麼我們說這個CW複形是無窮維的。CW複形的 維骨架是指所有維度不超過 的胞腔的並。如果這個聯集是閉集,那麼它本身就是一個CW複形,稱為原複形的子複形。因此,CW複形的 維骨架是維度不超過 的最大子複形。

CW複形常常由其各個維度上的骨架通過歸納來定義。首先定義0維骨架為離散空間。緊接著將1維胞腔黏著到0維骨架上。這一步先將每個1維胞腔先視作1維閉球,然後通過某個從這個閉球的邊界——即0維球面 ——到0維骨架的連續影射貼合。 上的每一點都與其在該映射下的像與0維骨架上的某一點等同;這構成一個等價關係。如此,1維骨架就定義成0維骨架和所有1維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間

概括而言,給定 維骨架, 維骨架是由在此基礎上黏著 維胞腔得到。每個 維胞腔同樣先視作 維閉球,然後通過某個從這個閉球的邊界——即 維球面 ——到 維骨架的連續影射貼合。 上的每一點都與其在該映射下的像與 維骨架上的某一點等同;這同樣構成一個等價關係。這樣, 維骨架就定義成 維骨架和所有 維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間

在同構意義上,每個 維CW複形都可依此由其 維骨架構造而成,因此每個有限維CW複形都能按以上方法構造。甚至對於無窮維CW複形也成立,只要藉助拓撲空間的歸納極限來描述以上無窮過程的結果,這個結論也是對的:在極限的集合 中,子集是閉集若且唯若它與每一個骨架都交於閉集(相對於骨架本身的拓撲)。

例子

  • 實數集 上的標準CW結構中的0維骨架為整數集 ,而1維胞腔則是區間 。相似地,在 上的標準CW結構中的胞腔是 的0維和1維胞腔的積。
  • 多面體帶有自然的CW複形結構。
  • 是一維CW複形。
  • 無窮維希爾伯特空間不是CW複形:它是一個貝爾空間(見貝爾綱定理),因此不能寫成其 維骨架的並,因每個骨架都是閉集且內部為空。這個論證也可引申到許多無窮維空間。
  • 球面容許一個只有兩個胞腔的CW結構:一個0維胞腔和一個 維胞腔,依靠從 到0維胞腔的常映射黏著。另外一個替代的胞腔分解也很受歡迎,因赤道包含映射 的補集恰好是兩個球:上半球和下半球。由歸納法可得 的一個CW分解,每個維度 上恰好有兩個 維胞腔。
  • 實射影空間容許一個CW結構,每個維度 上恰好有一個 維胞腔。
  • 格拉斯曼流形容許一個CW結構,其胞腔稱作舒伯特胞腔.
  • 微分流形、代數和射影都同倫於CW複形。
  • 空間 同倫於CW複形(甚至是可收縮的),但不容許任何CW結構,因其不是局部可收縮的。
  • 夏威夷耳環英語Hawaiian earring是不同倫於CW的拓撲空間的一例。

CW複形的同調與餘調

CW複形的奇異同調(或餘調)可以通過胞腔同調計算。此外,在CW複形和胞腔映射的範疇內,胞腔同調可以解讀成一種同調論。如要計算CW複形的廣義(上)同調,阿提亞-希策布魯赫英語Atiyah–Hirzebruch spectral sequence譜序列是胞腔同調的一個類比。

以下是一些計算的實例:

  • 對於球面 ,取只帶有一個0維胞腔和一個 維胞腔的分解。胞腔鏈複形 與同調皆為

因為所有微分算子皆為零(實際上,餘鍵複形與餘調亦然)。或者,如果我們取赤道分解,使得每個維度上各有兩個胞腔,那麼

而微分算子是形為 的矩陣。這個複形給出的同調與以上計算一致,因為複形在除 項外都是正合的。

  • 對於複射影空間 ,可以相似地算得

之所以這兩例中計算都尤其簡單,是因為同調完全由胞腔數目確定——換言之,胞腔的黏著映射在計算中沒有扮演任何角色。這個現象只是特例,在一般情況下並不成立。

同倫範疇

在某些專家眼中,CW複形的同倫範疇即使不是唯一的同倫範疇(基於技術原因,實際使用的版本是帶基點的空間),也是同倫範疇的最佳候選。[4]因此,可能會得出非CW複形的空間的輔助構造需儘量避免。在這方面的基本結論是布朗可表性定理:同倫範疇上的可表函子可以藉助CW複形來相當精簡地刻畫。

性質

  • CW複形是局部可收縮的。
  • CW複形滿足懷特黑德定理:CW複形之間的映射是同倫等價若且唯若在所有同倫群上都誘導出同構。
  • 兩個CW複形的積可以轉化成一個CW複形。具體而言,設 為CW複形,那麼 上容許一個CW複形的結構,其胞腔即 中的胞腔與 中胞腔的積,並配備弱拓撲。不出所料,這個新的CW複形的底集合就是 本身。此外,多數情況下弱拓撲與 上的積拓撲一致,例如當 之一是有限CW複形(或更一般地,當它們之一是局部有限的,也即在每個維度它有有限個胞腔)。然而,如果 皆非局部緊,弱拓撲可能比積拓撲更精細。在這種不利的情形下,兩個複形的積(作為拓撲空間) 不是一個CW複形。另一方面,緊生成空間範疇中的積的拓撲與弱拓撲一致,因此確實定義出一個CW複形。
  • 為CW複形。函數空間 (帶緊緻開拓撲)一般不是CW複形。若 是有限CW複形,那麼 同倫等價於一個CW複形;這是由於約翰·米爾諾的一個定理 (1959)。[5] 注意到 都是緊生成郝斯多夫空間,因此 常常取其緊生成的變種;以上結論對於這個變種仍然成立。[6]
  • CW複形的覆疊空間也是CW複形。
  • CW複形是仿緊空間,而有限CW複形是緊空間。CW複形的緊子空間必定包含於一有限子複形內。[7][8]

參考文獻

注釋

  1. ^ Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2001. 
  2. ^ 存档副本. [2016-05-29]. (原始內容存檔於2016-05-06). 
  3. ^ 存档副本. [2016-05-29]. (原始內容存檔於2015-12-20). 
  4. ^ 例如,Baladze, D.O., CW-complex, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 聲稱"The class of CW complexes (or the class of spaces of the same homotopy type as a CW complex) is the most suitable class of topological spaces in relation to homotopy theory"
  5. ^ Milnor, John, "On spaces having the homotopy type of a CW-complex頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)" Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272–280.
  6. ^ Compactly Generated Spaces (PDF). [2016-05-29]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03). 
  7. ^ Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0. 免費電子版本可見作者的網站頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)。
  8. ^ Hatcher, Allen, Vector bundles and K-theory, 初步版本可見於作者的網站頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

綜合參考