数学 中，特别是交换代数 中，分式理想 的概念是在对整环 的研究中所引入的，并且在戴德金整环 的研究中得到丰富。类似于通过给整数 引入分母 而产生了分数 ，在整环中，分式理想 可认为是为理想引入了在某种意义上 [來源請求] 理想 常被强调为整理想 。
设
R
{\displaystyle R}
K
{\displaystyle K}
分式域 。
R
{\displaystyle R}
K
{\displaystyle K}
R
{\displaystyle R}
子模
I
{\displaystyle I}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
I
⊂
R
{\displaystyle rI\subset R}
r
{\displaystyle r}
I
{\displaystyle I}
K
{\displaystyle K}
主分式理想 。分式理想
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
R
{\displaystyle R}
给定整环
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
I
J
=
R
{\displaystyle IJ=R}
I
J
=
{
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
:
a
i
∈
I
,
b
i
∈
J
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{i}\in J,n=0,1,2,\dots \}}
R
{\displaystyle R}
阿贝尔群 ，称为
R
{\displaystyle R}
分式理想群 ；其单位元 是
R
{\displaystyle R}
单位理想 ，即
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
子群 。
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
模 是投射 的。
K
{\displaystyle K}
有限生成
R
{\displaystyle R}
都是
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
诺特的 ，则这些就是
R
{\displaystyle R}
在戴德金整环 中，上面的理论更为简单。特别地，戴德金整环的每个分式理想都是可逆的。事实上，这也是刻画戴德金整环的特征：一个整环是戴德金整环，当且仅当它的的每个非零分式理想都可逆。
在戴德金整环中，分式理想群模去主分式理想群所得到的商群 是这个戴德金整环的重要不变量 ，称为它的理想类群 。引入分式理想的一部分原因就是为了说明理想类群确实是个商群 ，这比通过特别地定义理想类的乘法运算来构造理想类群 要更自然。[來源請求]
设
I
~
{\displaystyle {\tilde {I}}}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
交集 ，则：
I
~
=
(
R
:
(
R
:
I
)
)
{\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I))}
其中
(
R
:
I
)
=
{
x
∈
K
:
x
I
⊆
R
}
{\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}}
如果
I
~
=
I
{\displaystyle {\tilde {I}}=I}
I
{\displaystyle I}
除子理想 。如果
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
(
I
:
J
)
{\displaystyle (I:J)}
一个整环称为Mori 整环 ， 如果其全体除子理想的集合满足升链条件 。
Chapter 9 of Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1994, ISBN 978-0-201-40751-8
Chapter VII.1 of Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra 2nd, Springer Verlag, 1998, ISBN 3-540-64239-0
Chapter 11 of Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8 2nd, Cambridge University Press, 1989, ISBN 978-0-521-36764-6MR 1011461
