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多重排列与多重全排列

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多重排列与多重全排列是组合数学中的常见的两个排列模型,具有广泛的应用场景。尽管多重排列与多重全排列仅有一字之差,但是具有完全不同的实际意义。

定义

多重排列定义

多重集的几何大小为,取其中的个数进行排列,即为多重排列。设多重集内元素细节为,...,,则可记为.

多重全排列定义

,...,个数,其中,对这样的个数所求的排列,即为多重全排列,记为

计算方法

多重排列计算方法

枚举法:小范围的多重排列采用分类枚举方法即可得出正确结果。

多重全排列计算方法

举例

举例:多重排列

某校举办运动会,计算机系派出代表人数分布如下:人智所有3个人报名,高性能所有2个人报名,软件所有4名同学报名(ps:认为同一所的同学无差别,仅代表研究所内一个成员),共有8个完全不同的个人单项项目,计算机系需要选择其中的8个人代表院系参加比赛(每人必须参加一项,且不能超过一项),报名的三个所至少每个所获得一个参赛名额,问共有多少种排列方案?

解:

大类一:

大类二:

大类三:

总计:

举例:多重全排列

某校举办运动会,计算机系派出代表人数分布如下:网络所有3名同学报名,软件所有4名同学报名,人智所有3个人报名,高性能所有2个人报名(ps:认为同一所的同学无差别,仅代表研究所内一个成员),共有12个完全不同的个人单项项目,每人必须参加一项,且不能超过一项,问共有多少种排列方案?

解:

设排列方案为,则