蔡勒公式(德語:Zellers Kongruenz),是一種計算任何一日屬一星期中哪一日的演算法,由十九世紀德國數學家克里斯提安·蔡勒推算出來。
公式
![{\displaystyle w=\left(y+\left[{\frac {y}{4}}\right]+\left[{\frac {c}{4}}\right]-2c+\left[{\frac {26(m+1)}{10}}\right]+d-1\right){\bmod {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65e11cd656b95b753e220dbec1d7441d572aa7e)
or
![{\displaystyle w=\left(y+\left[{\frac {y}{4}}\right]+\left[{\frac {c}{4}}\right]-2c+2m+\left[{\frac {3(m+1)}{5}}\right]+d+1\right){\bmod {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b671ee256387a51343ba0c42524286a25ece7a41)
公式都是基於公曆的置閏規則來考慮。
公式中的符號含義如下:
- w:星期(计算所得的数值对应的星期:0-星期日;1-星期一;2-星期二;3-星期三;4-星期四;5-星期五;6-星期六)[註 1]
- c:年份前两位数
- y:年份后两位数
- m:月(m的取值範圍為3至14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作上一年的13、14月來計算,比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日來計算)
- d:日
- [ ]:稱作高斯符號,代表向下取整,即,取不大于原数的最大整數。
- mod:同餘(這裡代表括號裡的答案除以7後的餘數)
因为
![{\displaystyle \left(y+[{\frac {y}{4}}]+[{\frac {c}{4}}]-2c+[{\frac {26(m+1)}{10}}]+d-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0155b030f4fd748b232f8ed30882359bf00611)
可能为负数,所以当出现负数的情况下不能直接mod 7。编写成代码的时候如果两个操作数中只有一个负数,求模的结果取决于机器,也就是说某些情况下w在一些机器上为负数,但是在某一些机器上w不一定为负数(例如:21%-5的结果取决于机器,可能得到1或-4),对于产生负数这种情况可将原来公式分为两步:
![{\displaystyle w=\left(y+[{\frac {y}{4}}]+[{\frac {c}{4}}]-2c+[{\frac {26(m+1)}{10}}]+d-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b1b601ac3b2039d636f893051d37eadb44352f)
![{\displaystyle w=(w\%7+7)\%7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb6a5babab496d0c08316380074e06de5daa73d)
若为一月二月,则看作为去年的13月和14月输入,同时在年份上减一。以上各式中的“%”符号表示取余运算。
例子
對2006年4月4日而言,代入公式算出:
![{\displaystyle =(-12)\mod 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bc9c870c38d2d286dc7d24e529d115f57d49f2)
![{\displaystyle =2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6131c2c93b5b330ab11ddb16345c998f499e7a00)
得知為星期二。
儒略曆時期公式
若要計算的日期是在1582年10月4日或之前的儒略曆實施年代,公式則為:
![{\displaystyle w=\left(y+[{\frac {y}{4}}]-c+[{\frac {26(m+1)}{10}}]+d+4\right){\bmod {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c827312ca7869dd716b6320ca078834fe7803bdc)
or
![{\displaystyle w=\left(y+[{\frac {y}{4}}]-c+2m+[{\frac {3(m+1)}{5}}]+d-1\right){\bmod {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b111c5f1224e0563a04779a34bfc3d9e9fc8c6b)
這是因羅馬教宗額我略十三世頒布新曆法(公曆),把1582年10月4日的後一天改為1582年10月15日。此一公式也要注意前述附註中出现负数的情况。
註解