在數學上,謝爾賓斯基空間(Sierpiński space,又稱兩點連通空間(connected two-point set))是一個包含兩個元素的有限拓樸空間,其中只有一個元素是閉合的。[1]這個空間是所有非密着且非离散的拓樸空間中最小的,而這空間以波蘭數學家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏為名。
因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中,是開集的分類空間(classifying space)之故,因此這集合在可计算性理论和語意處理上有重要的應用。[2][3]
定義及基本性質
謝爾賓斯基空間
是一個其點集合為
的拓樸空間,其所有的開集如下:
![{\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c1c251c7f1602f6bdb47e9733015fdbc8b41b9)
其所有的閉集如下:
![{\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e563f8af8a4c9e6eb9fc0ef38b478b723e5a0d)
也就是說,其單點集
是閉集,而其單點集
是開集,另外此處的
代表空集合。
此空間的閉包如下:
![{\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b878a8c637762024cdb94901155166b7022552)
一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化预序唯一定義,當中,這预序是一個偏序,其形式如下:
![{\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5e48a256611304525176c1208e791f80ceb2c0)
拓樸性質
謝爾賓斯基空間
是特定點拓樸(particular point topology)(謝爾賓斯基空間的特定點為1)和排除點拓樸(excluded point topology)(謝爾賓斯基空間的排除點為0)的一個特殊例子,因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。
分離性
- 在謝爾賓斯基空間中,0和1這兩點是拓撲可區分的,這是因為
是一個只包含這兩者其中一點的開集之故,因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間(
空間)。
- 然而謝爾賓斯基空間不是一個
空間,這是因為
這個單點集不是閉集之故,也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或
空間(其中
)。
- 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正则空间,這是因為1這個點及其不相交集合
不能以鄰域分離之故(另外點能以鄰域分離的
空間是豪斯多夫空間)。
- 然而謝爾賓斯基空間可視為正规空间和完全正规空间,這是因為這空間中沒有非空的分离集合所致。
- 然而謝爾賓斯基空間不是完美正规空间,這是因為其彼此不相交的閉合
和
無法由函数完全分离所致。事實上,謝爾賓斯基空間的
不能是任何連續函數
的零集(zero set),而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。
連通性
- 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間(Hyperconnected space)(這是因為其所有的非空開集都包含1所致)和特連通空間(Ultraconnected space)(這是因為其所有的非空閉集都包含0所致)。
- 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。
- 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路
可定義如次:
且對於所有的
而言
,這個函數是連續的,因為
在
是開集。
- 和所有的有限拓樸空間一樣,謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
- 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間(contractible space),因此其基本群是個當然群(這點對高階同倫群(higher homotopy groups)也成立)。
緊緻性
- 和所有有限拓樸空間一樣,謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
- 謝爾賓斯基空間的緊子集
不是閉集,而這顯示了
空間的緊集不必然是閉集。
- 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身,這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故,因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋,就是
。
- 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間(fully normal space,仿紧空间的一個子類)。[4]
收斂性
- 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0,這是因為在謝爾賓斯基空間當中,0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
- 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1,當且僅當該序列僅有有限多項為0。
- 在謝爾賓斯基空間當中,1是某序列的一個聚集点,當且僅當該序列包含無限多項的1。
- 例子如下:
- 1不是
這序列的聚集点。
- 1是
這序列的聚集点1,但並非極限點。
這序列同時收斂至0和1。
度量化可能性
- 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間,甚至也不是可偽度量化的空間,這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正则空间,而謝爾賓斯基空間就連正则空间都不是之故。
- 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成,其中
且
。
其他性質
- 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數:恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
- 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群(英语:homeomorphism group)是當然群。
映至謝爾賓斯基空間的連續函數
設
是一個任意集合,那麼一般會將所有從
映至
的函數的集合給記做
,這些函數即是
的指示函数,所有的指示函数都有如下的形式:
![{\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9718391f89272b4a16405c5b9bb030b381a44540)
在其中
是
的一個子集。換句話說
這個函數的集合和
的幂集
間,有著雙射的關係。每個
的子集
都有自己的指示函数
,而每個從
映至
的函數都有如此的形式。
現在假定
是個拓樸空間,而
有著謝爾賓斯基拓樸,那麼
是個連續函數,當且僅當
在
中是個開集;然而根據定義,我們有
![{\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e5cdf1f491cdf0883bff25c8b99ea9733b7c0c)
因此
是個連續函數,當且僅當
在
中是個開集。
假定
是所有從
映至
的連續函數的集合,並假定
是
的拓樸(也就是所有開集的集族),那麼就存在一個從
映至
的雙射,這映射會將
映至
之上。
![{\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f11c80bc4c1bbbe1ef84265ae14f1a6b6b5016)
也就是說,假若將
和
對等,那麼其連續映射的子集
會是
的拓樸。
一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中,謝爾賓斯基空間會在指示函数保持定向连接(directed join)的狀況下,成為其開集的分類空間。[5]
范畴论的描述
上述的結構可以用范畴论的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合范畴的反變函子
將每個拓樸空間
給指派給其開集的集合
,並將每個連續函數
給指派給其原像:
![{\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0597768ddaca4e415188cbe805adff4eabf7421)
而相關敘述如下:
這個函子由
表示,其中
為謝爾賓斯基空間,也就是說,
和同態函子(Hom functor)
間有著自然同構,而這自然同構由泛元素
決定,而這可由预层的概念一般化。[6]
初拓扑
任何的拓樸空間
都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族
所引致的初拓扑。事實上,若要將
的拓樸變得更加粗糙,那就必須將一些開集給移除;然而若將開集
給移除,那麼
這個函數就會變得不連續,因此在
當中的每個函數都連續的情況下,
有著最粗糙的拓樸。
函數的集族
區分
上的點,當且僅當
是個
空間。
和
這兩點可由指示函数
區分,當且僅當開集
包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是
和
拓樸可區分的確實含意。
也就是說,若
是個
空間,那就可以將
給嵌入謝爾賓斯基空間的积空间中,在其中對於每個
的開集
而言,都有一個
的複本與之對應。其嵌入函數
![{\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a012fe42a518057726a3ecb4ffa89e643badfca)
可由下列函數得出:
![{\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6af8ca20291bb39be966373aa0f1f7fd39b9d7)
由於
空間的子空間和积空间還是
空間之故,因此一個拓樸空間是
空間,當且僅當其與謝爾賓斯基空間的积空间的某個子空間同胚。
在代數幾何中
在代數幾何中,謝爾賓斯基空間會作為
(整數在質數
生成的素理想上的局部化)之類的離散賦值環(Discrete valuation ring)
的譜
出現。其中
起自零理想的一般點(generic point)會對應至開集點1;而
起自極大理想的特殊點(special point)會對應至閉集點0。
參見
- 有限拓樸空間(Finite topological space)
- 拓樸列表(List of topologies)
- 偽圓(Pseudocircle)
註解
- ^ nLab的Sierpinski space條目
- ^ 一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上,詳情可見Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics (页面存档备份,存于互联网档案馆)》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective (页面存档备份,存于互联网档案馆)》,其中的「參照」一節提供了許多網路上關於域理论的文章。
- ^ Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004.
- ^ Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間(或以其術語來說,不是滿
空間)。
- ^ nLab的Scott topology條目
- ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102
參考