韦达定理

在數學上，韦达定理（英語：Vieta's formulas），又称根與係數的关系，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。

韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。

内容

设 $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 $a_{n}\neq 0$ ，令 P 的 n 個根為 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ ，则根 $\{x_{i}\}$ 和係數 $\{a_{j}\}$ 之間滿足關係式

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}

等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比 ${\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$ 是所有任取 k 個根的乘積的和的 $(-1)^{k}$ 倍，即

\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}

或：

\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}

其中 $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}$ 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。

事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。

证明

因為 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 是一元 n 次多項式 $M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ 的 n 个根。於是有

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})

根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得

{\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}

上式等同於韋達定理的敘述。

特例

n=2

设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次多項式 $ax^{2}+bx+c$ 的两根，則由 $ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}$ 有

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}

這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ， $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$ 證明：

x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}

x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}

在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 $ax^{2}+bx+c$ ，如果有两个数 $x_{1},x_{2}$ ，滿足 $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$ 和 $\,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ ，則 $x_{1},x_{2}$ 就是多項式 $\,ax^{2}+bx+c\,$ 的兩根。

n=3

设 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 是一元三次多項式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 的三根，則

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}

推廣至環

韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 ${\frac {a_{i}}{a_{n}}}$ 在 R 中不見得有定義，除非 $a_{n}$ 本身是可逆元。但 ${\frac {a_{i}}{a_{n}}}$ 在 R 的分式環 K 中有定義，而根 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 則在 K 的代數閉包 ${\bar {K}}$ 中有定義。特別的，如果 R 是整數環 $\mathbb {Z}$ ，則 K 是有理數體 $\mathbb {Q}$ ， ${\bar {K}}$ 是複數體 $\mathbb {C}$ 。

如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一， $a_{n}$ 可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 $a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$ 。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ 中，多項式 $P(x)=x^{2}-1$ 有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 $x_{1}=1$ ， $x_{2}=3$ ，會發現 $P(x)\neq (x-1)(x-3)$ ，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 $P(x)=(x-1)(x-7)$ 和 $P(x)=(x-3)(x-5)$ 。

歷史

在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 Albert Girard（英语：Albert Girard）提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓（英语：Charles Hutton）的話寫道^[1]

...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。

參考資料

^ (Funkhouser 1930)

Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273
Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4

Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6

参见

[1] (Funkhouser 1930)

[1]